Cho ∆ABC nhọn (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O), kẻ đường cao AH của ∆ ABC và đường kính AD của (O). Gọi M là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AD.

1) Chứng minh tứ giác ABMH nội tiếp.

2) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt hai tia AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh AB.AE = AC.AF.

3) Gọi I là trung điểm của BC, đường thẳng qua I song song với CD cắt BM tại K, tia DK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là S. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại Q. Chứng minh tứ giác SBKI nội tiếp và SQ là tiếp tuyến của (O).

1) Vì AH là đường cao của ∆ ABC nên   = 90°.

Vì M là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AD nên  $\widehat{AMB}$ = 90°.

Suy ra   $\widehat{AHB}=\widehat{AMB}$ = 90°.

Do đó H và M là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn AB dưới một góc bằng nhau và bằng 90°.

Vì vậy tứ giác ABHM nội tiếp.

2) Nối B với D và D với C.

Xét đường tròn (O) ta có:

  $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$= 90° (góc nội tiếp chắn đường kính AD).

 BD ⊥ AE, DC ⊥ AF

Xét ∆ADE vuông tại D, có DB là đường cao:

Áp dụng hệ thức lượng ta có: AB. AE = AD²

Xét ∆ADF vuông tại D, có DC là đường cao:

Áp dụng hệ thức lượng ta có:AC.AF = AD²

Do đó: AB. AE = AC.AF (đpcm).

3) Vì IK // CD nên $\widehat{BIK}=\widehat{BCK}$ =   (2 góc định vị) (1)

Xét đường tròn (O) ta có:  $\widehat{BSD}=\widehat{BCD}$ (góc nội tiếp chắn cung BD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác SBKI nội tiếp  $\widehat{IBK}=\widehat{IBM}=\widehat{ISK}$(1)

Vì I là trung điểm BC  OI ⊥ BC   => $\widehat{OIB}$ = 90°

$\widehat{OIB}=\widehat{OMB}$  = 90° và cùng chắn cung OB nên: Tứ giác OIMB nội tiếp

 $\widehat{IOM}=\widehat{IBM}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  $\widehat{IOM}=\widehat{ISK}$

 Tứ giác OISD nội tiếp  => O, I, S, D thuộc một đường tròn (3)

Vì $\widehat{OIQ}=\widehat{ODQ}$  = 90° và cùng chắn cung OQ nên: Tứ giác OIDQ nội tiếp O, I, D, Q thuộc một đường tròn (4)

Từ (3) và (4) suy ra: O, I, D, Q, S thuộc một đường tròn

=> Tứ giác OSQD nội tiếp

=>  $\widehat{OSQ}=\widehat{ODQ}$ = 90°

=>$\widehat{OSQ}+\widehat{ODQ}$ = 180°

=> $\widehat{OSQ}$ = 180° − 90° = 90°

=> OS ⊥ SQ

=>SQ là tiếp tuyến (O) (đpcm)