Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).

EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN

Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.

Gọi v₁, t₁ lần lượt là vận tốc và thời gian của xe I; v₂, t₂ lần lượt là vận tốc và thời gian của xe II.

Thời gian xe I đi hết đoạn đường AB là:

14 – 8 = 6 (giờ).

Thời gian xe II đi hết đoạn đường AB là:

(14 – 0,5) – 9 = 4,5 (giờ).

Ta có \(\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}}{\rm{ = }}\frac{{{t_2}}}{{{t_1}}} = \frac{{4,5}}{6} = \frac{3}{4}\) hay \(\frac{{{v_1}}}{3} = \frac{{{v_2}}}{4}\).

Vì vận tốc xe thứ hai lớn hơn vận tốc xe thứ nhất là 20 km/h nên v₂ – v₁ = 20.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{{v_1}}}{3} = \frac{{{v_2}}}{4} = \frac{{{v_2} - {v_1}}}{{4 - 3}} = \frac{{20}}{1} = 20\).

Suy ra v₁ = 20 . 3 = 60; v₂ = 20 . 4 = 80.

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc của xe thứ hai là 80 km/h.

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) suy ra a = bk, c = dk.

Ta có \(\frac{{a - 2b}}{b} = \frac{{bk - 2b}}{b} = \frac{{b\left( {k - 2} \right)}}{b} = k - 2\);

\(\frac{{c - 2d}}{d} = \frac{{dk - 2d}}{d} = \frac{{d\left( {k - 2} \right)}}{d} = k - 2\).

Vậy \(\frac{{a - 2b}}{b} = \frac{{c - 2d}}{d}\) (đpcm).