Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AC, điểm E trên cạnh AC sao cho BD = CE.

Tìm vị trí của hai điểm D và E sao cho BD = DE = EC. Khi đó tìm vị trí của điểm I

Xét DADE có AD = AE nên DADE cân tại A.

Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\).

Mà \(\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Tương tự với tam giác ABC cân tại A ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC.

Suy ra \(\widehat {DEB} = \widehat {EBC}\) (hai góc so le trong)       (3)

Do BD = DE nên DBDE là tam giác cân tại D

Suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\)         (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {EBC}\)

Khi đó BE là đường phân giác của góc ABC.

Tương tự, với DE = EC ta cũng chứng minh được CD là đường phân giác của góc ACB.

Xét tam giác ABC có BE, CE là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại I

Suy ra I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Vậy để BD = DE = EC thì BE và CD là hai đường phân giác của DABC, khi đó I cách đều ba cạnh của DABC.