Từ điểm A nằm ngoài đường tròn $(O)$ ta kẻ hai tiếp tuyến AM và AN đến đường tròn (M và N là tiếp điểm). Đường thẳng MO cắt đường tròn tại điểm P. Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt AN tại C và cắt AM tại B.

Chứng minh CP là tiếp tuyến tại P với đường tròn. Suy ra MB=CN.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+ Ta dễ dàng chứng minh được $Δ A M O = Δ A N O (c - g - c) \Rightarrow ∠ M O A = ∠ N O A (t / c) (1)$ .

Do $A O ⊥ B C = \{O\}$ (gt)

$\Rightarrow ∠ C O N + ∠ N O A = ∠ A O C = 90 °$ và $∠ M O A + ∠ M O B = ∠ A O B = 90 ° (2)$ .

Mặt khác: $∠ M O B = ∠ C O P$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow ∠ N O C = ∠ C O P$ (cùng phụ với các góc bằng nhau).

Xét $Δ N O C$ và $Δ P O C$ có: OC chung; $O N = O P; ∠ N O C = ∠ P O C (c m t)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Δ N O C = Δ P O C (c - g - c) \\ \Rightarrow ∠ O N C = ∠ O P C = 90 ° \Rightarrow O P ⊥ P C \end{array}$

Vậy CP là tiếp tuyến tại P với đường tròn.

+ Ta có: $Δ N O C = Δ P O C \Rightarrow C N = C P (*)$

Xét $Δ M O B$ và $Δ P O C$ có: $O M = O P; ∠ M O B = ∠ P O C; ∠ O M B = ∠ O P C = 90 °$

$\Rightarrow Δ M O B = Δ P O C (g - c - g) \Rightarrow B M = C P (* *)$

Từ (*) và (**) $\Rightarrow B M = C N$ .

Vậy $B M = C N$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính cạnh một hình vuông biết diện tích là $16 c m^{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Gọi cạnh hình vuông là $a (c m), (a > 0)$ .

Khi đó diện tích của hình vuông là: $a^{2} = 16 \Rightarrow a = \sqrt{16} = \sqrt{4^{2}} = 4 (c m)$ .

Vậy cạnh hình vuông là 4 cm.

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(d_{m}) : y = m x - 2 (m \neq 0)$ .

Xác định giá trị của m để đường thẳng $(d_{m})$ cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Điều kiện: $m \neq 0$ .

+ Với $y = 0 \Rightarrow m x - 2 = 0 \Rightarrow m x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{m}$ .

$\Rightarrow (d_{m}) : y = m x - 2$ với cắt Ox tại điểm $A (\frac{2}{m}; 0)$ .

+ Với $x = 0 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow B (0; - 2)$ là giao của $(d_{m})$ và Oy.

Khi đó diện tích của tam giác sẽ là:

$S_{O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} . |\frac{2}{m}| . |- 2| = \frac{2}{|m|} = 1 \Leftrightarrow |m| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 2 \end{array}$

Vậy $m = 2$ hoặc $m = - 2$ thì đường thẳng $(d_{m})$ cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

Câu 3