Câu hỏi:

02/03/2023 1,897

Cho đường tròn (O;R) với dây AB < 2R cố định Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho nhọn ,Mvà N lần lược là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ AC. Gọi I là giao của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng :

1) Tứ giác BMHI nội tiếp.

2) NI.NB = NH.NM

3) KH là phân giác củ góc AKI, IA là phân giác của góc KIH

4) Khi điểm C di động trên cung lớn AB và thỏa mãn điều kiện đề bài thì tổng hai bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp và có giá trị không đổi .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

1) Ta có: \(AN = NC \Rightarrow \angle ABN = \angle NMC \Rightarrow BMHI\)là tứ giác nội tiếp

2) Theo câu a, tứ giác \(BMHI\)nội tiếp

\( \Rightarrow \angle HMB + \angle HIB = 180^\circ \)mà \(\angle NIH + \angle HIB = 180^\circ \Rightarrow \angle HNB = \angle HIB\)

Xét \(\Delta NIH\)và \(\Delta NMB\)có: \(\angle MNB\)chung,

\( \Rightarrow \frac{{NI}}{{NM}} = \frac{{NH}}{{NB}} \Rightarrow NI.NB = NM.NH\)

3) Ta có: \(MA = MB \Rightarrow \angle ACM = \angle MNB \Rightarrow KINC\)là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle KIN = \angle KCN\)(cùng chắn mà \(\angle KCN = \angle ABN\)(cùng chắn

\( \Rightarrow \angle KIN = \angle ABN\), mà chúng đồng vi \( \Rightarrow KI//AH\left( 1 \right)\)

Theo câu 1, tứ giác \(BHMI\)nội tiếp \( \Rightarrow \angle IMB = \angle IHB\)(cùng chắn

Mà \(\angle IMB = \angle CAB\), mà chúng đồng vị \( \Rightarrow IH//AK\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AHIK\)là hình bình hành

Lại có :

\( \Rightarrow \angle AKH = \angle AHK \Rightarrow \Delta AHK\)cân tại A\( \Rightarrow AH = AK\)

Hình bình hành \(AHIK\)có \(AN = AK \Rightarrow AHIK\)là hình thoi\( \Rightarrow KH\)là đường phân giác \(\angle AKI \Rightarrow IA\)là phân giác \(\angle KIH\)

4) Gọi \({O_1},{O_2}\)lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ANH\)và \(\Delta BNH\)

\( \Rightarrow \Delta {O_1}AH\)cân tại \({O_1}\)và \(\Delta {O_2}BH\)cân tại \({O_2}\), có \(\angle A{O_1}H = 2\angle ANH\), \(\angle B{O_2}H = 2\angle BNH\)\( \Rightarrow \angle {A_1}OH = \angle B{O_2}H\)mà \(\angle ANH = \angle BNH\)

\( \Rightarrow \angle {O_1}AH = \angle {O_1}HA = \angle {O_2}HB = \angle O_2^{}BH\)

Gọi D là giao điểm của \(A{O_1}\)và \(B{O_2}\)có:

\(\Delta ADB\)cân tại \(D \Rightarrow M,O,D\)thẳng hàng

Có \(\angle AMD = \angle MAB = \angle ANM \Rightarrow MA\)là tiếp tuyến của \(\left( {{O_1}} \right) \Rightarrow \angle MAD = 90^\circ \)\( \Rightarrow MD\)là đường kính của \(\left( O \right) \Rightarrow D\)cố định

Ta chứng minh được : \(\angle A{O_1}H = \angle ADB \Rightarrow H{O_1}//D{O_2}\)

\( \Rightarrow \angle AOB = \angle H{O_2}B \Rightarrow H{O_2}//D{O_1}\)

Tứ giác \(H{O_1}D{O_2}\)là hình bình hành\( \Rightarrow {O_2}H = D{O_1}\)
Có \({R_1} + {R_2} = {O_1}A + {O_2}H = {O_1}A + {O_1}D = AD\)

\(A,D\)cố định \( \Rightarrow AD\)không đổi \( \Rightarrow {R_1} + {R_2}\)không đổi

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình :

Để hoàn thành một công việc theo dự định thì cần một số công nhân làm trong một số ngày nhất định . Nếu tăng thêm 10 công nhân thì công việc hoàng thành sớm được 2 ngày. Nếu bớt đi 10 công nhân thì phải mất thêm 3 ngày nữa mới hoàn thành công việc. Hỏi theo dự định thì cần bao nhiêu công nhân và làm trong bao nhiêu ngày?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \(x\)là số công nhân, \(y\)là số ngày dự định \(\left( {x,y \in N*,x > 10} \right)\)

Theo bài ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 10} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\\\left( {x - 10} \right)\left( {y + 3} \right) = xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 10y = 20\\3x - 10y = 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 50\\y = 12\end{array} \right.(tm)\)

Vậy có 50 công nhân, làm trong 12 ngày

Câu 2

1)    Giải hệ phương trình sau

2)    Cho Parabol và đường thẳng (d): y = 2x + 3

a)    Chứng minh rằng đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B và tìm tọa độ của A, B

b)    Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của parabol (P) sao cho diện tích lớn nhất .

Xem đáp án

Lời giải

\(1)\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{y + 2}} = 3\\\frac{3}{{\sqrt {x - 1} }} + \frac{2}{{y + 2}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} = 1\\y + 2 = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

2) Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( P \right),\left( d \right):\)

\({x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = 3 \Rightarrow A\left( {3;9} \right)\\{x_B} = - 1 \Rightarrow B\left( { - 1;1} \right)\end{array} \right.\)

b) \(C\left( {x;{x^2}} \right)\)và \(A',B',C'\)lần lượt là chân đường cao hạ xuống \(Ox\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = {S_{AA'B'B}} + {S_{ACC'A'}} - {S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 4x + 6 = 8 - 2{\left( {x - 1} \right)^2} \le 8\\ \Rightarrow MaxS = 8 \Leftrightarrow C\left( {1;1} \right)\end{array}\)

Câu 3