Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 38). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t ≥ 0) bởi hệ thức h = |d| với \(d = 3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]\), trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m, 0 m?

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì:

\(\left| {3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]} \right| = 3\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 3\\3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 1\\\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = - 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right) = k2\pi \\\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right) = \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t - 1 = 6k\\2t - 1 = 3 + 6k\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t = 6k + 1\\2t = 6k + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3k + \frac{1}{2}\\t = 3k + 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Khi đó \[\left[ \begin{array}{l}t \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{7}{2};\frac{{13}}{2};...} \right\}\\t \in \left\{ {2;5;8;...} \right\}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \left\{ {\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{{13}}{2};8;...} \right\}\].

Vậy \[t \in \left\{ {\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{{13}}{2};8;...} \right\}\] (giây) thì khoảng cách h là 3 m.

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì:

\(\left| {3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]} \right| = 0 \Leftrightarrow 3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right) = \frac{\pi }{2} + k\pi \)

\( \Leftrightarrow 2t - 1 = \frac{3}{2} + 3k\)

\( \Leftrightarrow 2t = \frac{5}{2} + 3k \Leftrightarrow t = \frac{5}{4} + \frac{3}{2}k\).

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}, khi đó \(t \in \left\{ {\frac{5}{4};\frac{{11}}{4};\frac{{17}}{4};...} \right\}\).

Vậy \(t \in \left\{ {\frac{5}{4};\frac{{11}}{4};\frac{{17}}{4};...} \right\}\) (giây) thì khoảng cách h là 0 m.