Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án đúng là: D

Giả sử 5 số hạng của cấp số nhân đó là u₁; u₂; u₃; u₄; u₅ và công bội của cấp số nhân là q.

+ Nếu q = 0 thì tích các số hạng bằng 0 không thỏa mãn bài toán nên q ≠ 0.

+ Nếu q = 1 thì u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅, do đó u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 5u₁ = 31.

Suy ra u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅ = $\frac{31}{5}$. Khi đó u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = ${\left(\frac{31}{5}\right)}^5\ne 1024$. Vô lí.

Vậy q ≠ 1.

+ Với q ≠ {0; 1}. Khi đó u₂ = u₁q; u₃ = u₁q²; u₄ = u₁q³; u₅ = u₁q⁴.

Ta có u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = $u_1^5.q^{1+2+3+4}=u_1^5{q}^{10}={\left(u_1{q}^2\right)}^5$ = 1 024 = 4⁵. Suy ra u₁q² = 4.

Suy ra $u_1=\frac{4}{q^2}$.

Lại có u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = S₅ = $\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\frac{\frac{4}{q^2}\left(1-q^5\right)}{1-q}=31$.

Suy ra 4(1 – q⁵) = 31q²(1 – q)

⇔ 4(1 – q)(1 + q + q² + q³ + q⁴) – 31q²(1 – q) = 0

⇔ (1 – q) (4 + 4q + 4q² + 4q³ + 4q⁴ – 31q²) = 0

⇔ (1 – q)(4q⁴ + 4q³ – 27q² + 4q + 4) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}q=1\\ 4q^4+4q^3-27q^2+4q+4=0\left(*\right)\end{array}\right.$

Vì q ≠ 1 nên ta loại trường hợp q = 1.

Giải phương trình (*): Chia cả hai vế của (*) cho q² (do q ≠ 0) ta được

$4q^2+4q-27+\frac{4}{q}+\frac{4}{q^2}=0$

$\iff \left(4q^2+8+\frac{4}{q^2}\right)+\left(4q+\frac{4}{q}\right)-35=0$

$\iff {\left(2q+\frac{2}{q}\right)}^2+2\left(2q+\frac{2}{q}\right)-35=0$ (**)

Đặt $2q+\frac{2}{q}=t$, khi đó (**) ⇔ t² + 2t – 35 = 0 ⇔ t = – 7 hoặc t = 5.

+ Với t = – 7, ta có $2q+\frac{2}{q}=-7\Rightarrow 2q^2+2+7q=0\iff \left[\begin{array}{l}q=\frac{-7+\sqrt{33}}{2}\\ q=\frac{-7-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right.$.

+ Với t = 5, ta có $2q+\frac{2}{q}=5\Rightarrow 2q^2+2-5q=0\iff \left[\begin{array}{l}q=\frac{1}{2}\\ q=2\end{array}\right.$.

Thử lại ta thấy cả 4 giá trị của q đều thỏa mãn (*).

Vậy có 4 cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024.