Câu hỏi:

12/07/2024 574

Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Giả sử 5 số hạng của cấp số nhân đó là u₁; u₂; u₃; u₄; u₅ và công bội của cấp số nhân là q.

+ Nếu q = 0 thì tích các số hạng bằng 0 không thỏa mãn bài toán nên q ≠ 0.

+ Nếu q = 1 thì u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅, do đó u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 5u₁ = 31.

Suy ra u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅= $\frac{31}{5}$ . Khi đó u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = ${(\frac{31}{5})}^{5} \neq 1 024$ . Vô lí.

Vậy q ≠ 1.

+ Với q ≠ {0; 1}. Khi đó u₂ = u₁q; u₃ = u₁q²; u₄ = u₁q³; u₅ = u₁q⁴.

Ta có u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = $u_{1}^{5} . q^{1 + 2 + 3 + 4} = u_{1}^{5} q^{10} = {(u_{1} q^{2})}^{5}$ = 1 024 = 4⁵. Suy ra u₁q² = 4.

Suy ra $u_{1} = \frac{4}{q^{2}}$ .

Lại có u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = S₅ = $\frac{u_{1} (1 - q^{5})}{1 - q} = \frac{\frac{4}{q^{2}} (1 - q^{5})}{1 - q} = 31$ .

Suy ra 4(1 – q⁵) = 31q²(1 – q)

⇔ 4(1 – q)(1 + q + q² + q³ + q⁴) – 31q²(1 – q) = 0

⇔ (1 – q) (4 + 4q + 4q² + 4q³ + 4q⁴ – 31q²) = 0

⇔ (1 – q)(4q⁴ + 4q³ – 27q² + 4q + 4) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} q = 1 \\ 4 q^{4} + 4 q^{3} - 27 q^{2} + 4 q + 4 = 0 (*) \end{array}$

Vì q ≠ 1 nên ta loại trường hợp q = 1.

Giải phương trình (*): Chia cả hai vế của (*) cho q² (do q ≠ 0) ta được

$4 q^{2} + 4 q - 27 + \frac{4}{q} + \frac{4}{q^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow (4 q^{2} + 8 + \frac{4}{q^{2}}) + (4 q + \frac{4}{q}) - 35 = 0$

$\Leftrightarrow {(2 q + \frac{2}{q})}^{2} + 2 (2 q + \frac{2}{q}) - 35 = 0$ (**)

Đặt $2 q + \frac{2}{q} = t$ , khi đó (**) ⇔ t² + 2t – 35 = 0 ⇔ t = – 7 hoặc t = 5.

+ Với t = – 7, ta có $2 q + \frac{2}{q} = - 7 \Rightarrow 2 q^{2} + 2 + 7 q = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} q = \frac{- 7 + \sqrt{33}}{2} \\ q = \frac{- 7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}$ .

+ Với t = 5, ta có $2 q + \frac{2}{q} = 5 \Rightarrow 2 q^{2} + 2 - 5 q = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} q = \frac{1}{2} \\ q = 2 \end{array}$ .

Thử lại ta thấy cả 4 giá trị của q đều thỏa mãn (*).

Vậy có 4 cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210?

A. 40.

B. 30.

C. 20.

D. 10.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là u₂, u₉, u₄₄. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ và công sai là d. Khi đó ta có:

u₂ = u₁ + d;

u₉ = u₁ + 8d = (u₁ + d) + 7d = u₂ + 7d;

u₄₄ = u₁ + 43d = (u₁ + d) + 42d = u₂ + 42d.

Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có:

$u_{2} u_{44} = u_{9}^{2}$ hay u₂(u₂ + 42d) = (u₂ + 7d)².

Và tổng của 3 số đó là 217 nên u₂ + u₉ + u₄₄ = u₂ + u₂ + 7d + u₂ + 42d = 3u₂ + 49d = 217.

Vậy ta có hệ $\{\begin{cases} u_{2} (u_{2} + 42 d) = {(u_{2} + 7 d)}^{2} \\ 3 u_{2} + 49 d = 217 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{2} = 7 \\ d = 4 \end{cases}$ .

Do đó u₁ = u₂ – d = 7 – 4 = 3.

Gọi n số hạng đầu của cấp số cộng có tổng là 210.

Khi đó $S_{n} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d]$ hay $210 = \frac{n}{2} [2.3 + (n - 1) .4]$ ⇔ 210 = n(2n + 1)

⇔ 2n² + n – 210 = 0 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 10 \\ n = - \frac{21}{2} \end{array}$ .

Vì n nguyên dương nên n = 10. Vậy phải lấy 10 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.

Câu 2

Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 1 – n².

B. u_n = 2ⁿ.

C. u_n = n sin n.

D. $u_{n} = \frac{2 - n}{n + 1}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án D là dãy số bị chặn. Thật vậy:

Ta có $u_{n} = \frac{2 - n}{n + 1} = \frac{- (n + 1) + 3}{n + 1} = - 1 + \frac{3}{n + 1}$ .

Vì n > 0 nên $\frac{3}{n + 1} > 0$ . Suy ra $- 1 + \frac{3}{n + 1} > - 1$ .

Vì n ≥ 1 nên n + 1 ≥ 2 $\Rightarrow \frac{3}{n + 1} \leq \frac{3}{2} \Rightarrow - 1 + \frac{3}{n + 1} \leq \frac{1}{2}$ .

Vậy $- 1 < u_{n} \leq \frac{1}{2}$ nên dãy số này bị chặn.

Câu 3