Một du khách vào trường đua ngựa xem đua ngựa và đặt cược chọn con thắng cuộc. Nếu chọn đúng con thắng cuộc thì sẽ nhận được số tiền gấp đôi số tiền đặt cược, còn nếu chọn sai thì sẽ mất số tiền đặt cược. Người du khách đó lần đầu tiên đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu?

A. Thắng 20 000 đồng.

B. Hoà vốn.

C. Thua 20 000 đồng.

D. Thua 40 000 đồng.

Đáp án đúng là: D

Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là u₂, u₉, u₄₄. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ và công sai là d. Khi đó ta có:

u₂ = u₁ + d;

u₉ = u₁ + 8d = (u₁ + d) + 7d = u₂ + 7d;

 u₄₄ = u₁ + 43d = (u₁ + d) + 42d = u₂ + 42d.

Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có: 

$u_2{u}_{44}=u_9^2$ hay u₂(u₂ + 42d) = (u₂ + 7d)².

Và tổng của 3 số đó là 217 nên u₂ + u₉ + u₄₄ = u₂ + u₂ + 7d + u₂ + 42d = 3u₂ + 49d = 217.

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}{u}_2\left(u_2+42d\right)={\left(u_2+7d\right)}^2\\ 3u_2+49d=217\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_2=7\\ d=4\end{array}\right.$.

Do đó u₁ = u₂ – d = 7 – 4 = 3.

Gọi n số hạng đầu của cấp số cộng có tổng là 210.

Khi đó $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$ hay $210=\frac{n}{2}\left[2.3+\left(n-1\right).4\right]$ ⇔ 210 = n(2n + 1)

⇔ 2n² + n – 210 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-\frac{21}{2}\end{array}\right.$.

Vì n nguyên dương nên n = 10. Vậy phải lấy 10 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án D là dãy số bị chặn. Thật vậy:

Ta có $u_n=\frac{2-n}{n+1}=\frac{-\left(n+1\right)+3}{n+1}=-1+\frac{3}{n+1}$.

Vì n > 0 nên $\frac{3}{n+1}>0$. Suy ra $-1+\frac{3}{n+1}>-1$.

Vì n ≥ 1 nên n + 1 ≥ 2 $\Rightarrow \frac{3}{n+1}\le \frac{3}{2}\Rightarrow -1+\frac{3}{n+1}\le \frac{1}{2}$.

Vậy $-1<u_n\le \frac{1}{2}$ nên dãy số này bị chặn.