Cho tam giác ABC nhọn (AB <AC) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: $\Delta FHB\backsim \Delta EHC$ .

b) Chứng minh: $AF\cdot AB=AE\cdot AC$ .

c)

• Xét $\Delta ABC$  có hai đường cao BE, CF và cắt nhau tại IH nên suy ra IH là trực tâm của tam giác ABC nên $AH\perp BC$ .        (1)

• Xét $\Delta BEM$  vuông tại E  có I  là trung điểm của BM  nên $IE=BI=IM=\frac{BM}{2}$ .

• Xét $\Delta IEM$  có IE = IM (cmt) nên tam giác IEM  cân tại I .

Suy ra . $\widehat{IEM}=\widehat{IME}$  (2)

• Xét $\Delta ABC$  có FE // BC suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{AMB}$  (hai góc đồng vị).       (3)

• Ta có $AF\cdot AB=AE\cdot AC$  suy ra $\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$ .

• Xét $\Delta ABF$  và $\Delta ABC$  có:

$\widehat{EAF}=\widehat{BAC}\left(\widehat{A}\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}chung}\right)$

$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\left(\text{cmt}\right)$

Do đó $\Delta AEF\backsim \Delta ABC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$ .

Suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$  (hai góc tương ứng).     (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra $\widehat{CED}=\widehat{ABC}$ .

• Xét $\Delta CED$và $\Delta CBA$  có:

$\widehat{ECD}=\widehat{BCA}\left(\widehat{C}\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}chung}\right)$

$\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}\left(\text{cmt}\right)$

Do đó $\Delta CEB\backsim \Delta CDA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$ .

Suy ra $\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}$  hay $\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}$ .

• Xét $\Delta CEB$  và $\Delta CDA$  có:

$\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}\left(\text{cmt}\right)$

$\widehat{ECB}=\widehat{DCA}\left(\widehat{C}\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}chung}\right)$

Do đó $\Delta CEB\backsim \Delta CDA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$ .

Suy ra $\widehat{CDA}=\widehat{CEB}$  (hai góc tương ứng).

Nên $\widehat{CDA}=90°$ , do đó $AD\perp BC$ .     (5)

Từ (1) và (5) suy ra ba điểm A, H, D thẳng hàng. (đpcm).