Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật cạnh \(AB = a,AD = a\sqrt 2 \), \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\], góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SB\).

a) Chứng minh \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) tới mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

a) Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD\) (1).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AB \bot \left( {SAD} \right)\) mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\). Do đó \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Vì \(M\) là trung điểm của \(SB\) và \(SM \cap \left( {ABCD} \right) = \left\{ B \right\}\).

Do đó \(\frac{{d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{MB}}{{SB}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).

Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,CA} \right) = \widehat {SCA}\).

Có \(BD = AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có \(SA = AC.\tan \widehat {SCA} = a\sqrt 3 .\tan 60^\circ = 3a\).

Do đó \(d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{3a}}{2}\).