Phương trình ${\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = 3 \cdot {2^x}$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Tính giá trị biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$.

Ta có \[\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1}}.\]

Khi đó ${\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = 3 \cdot {2^x}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 3$ (chia hai vế cho ${2^x}$)

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - x}} = 3$

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2x}} - 3 \cdot {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}

{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \\

{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}

\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}

{x = 1} \\

{x = - 1}

\end{array}.} \right.\]

Vậy $A = 2.$