Câu hỏi:

16/04/2024 279

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(AB\).

a) Chứng minh \(CB'\,\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(N\) song song với hai cạnh \(AB'\) và \(AC'\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {BB'C'} \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 11 Cánh Diều có đáp án !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' gọi M, N (ảnh 1)

Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(AB\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABB'A'\). Suy ra \(MN{\rm{//}}AA'\) và \(MN\, = \,AA'\) (do \(ABB'A'\) là hình bình hành).

Ta có: \[MN{\rm{//}}AA'\] và \[AA'{\rm{//}}CC'\] (tính chất hình lăng trụ).

\[ \Rightarrow MN{\rm{//AA'}}{\rm{.}}\]

Lại có \(AA' = CC'\) (tính chất hình lăng trụ), mà \(MN\, = \,AA'\) nên \[MN = CC'\].

Do đó, tứ giác \[MNCC'\] là hình bình hành. Suy ra \[CN{\rm{//}}MC'.\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}MC'\\MC' \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).\]

Mặt khác ta chứng minh được \[AN{\rm{//}}B'M;\,\,AN = B'M\] nên tứ giác \[ANB'M\] là hình bình hành. Suy ra \[NB'{\rm{//}}MA.\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}NB'{\rm{//}}MA\\MA \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NB'{\rm{//}}\left( {AMC'} \right).\]

Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{//}}\left( {AMC'} \right)\\NB'{\rm{//}}\left( {AMC'} \right)\\CN,NB' \subset \left( {CNB'} \right)\\CN \cap NB' = \left\{ N \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AMC'} \right){\rm{//}}\left( {CNB'} \right).\]

Mà \[CB' \subset \left( {CNB'} \right).\,\,\,{\rm{Suy}}\,\,{\rm{ra}}\,\,\,CB'\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)\].

b)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' gọi M, N (ảnh 2)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AB'\), cắt \(BB'\) tại \(E\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AC'\), cắt \(BC'\) tại \(Q\).

Khi đó, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {NQE} \right)\).

Vì \(E \in BB'\) nên \(E \in \left( {BB'C'} \right)\); vì \(Q \in BC'\) nên \(Q \in \left( {BB'C'} \right)\). Do đó, \(EQ \subset \left( {BB'C'} \right)\).

Vậy \[\left( {NQE} \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\] hay \[\left( P \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\].

Bình luận

Câu 1:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. \[\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \].

B. \[sin\left( {\pi + \alpha } \right) = {\rm{sin}}\alpha \].

C. \[\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \alpha \].

D. \[tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \cot \left( {2\alpha } \right)\].

Xem đáp án » 16/04/2024 3,285

Câu 2:

Cho hình lăng trụ \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}.\] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \(\left( {ABC} \right){\rm{//}}\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\)

B. \(A{A_1}{\rm{//}}\left( {BC{C_1}} \right).\)

C. \(AB{\rm{//}}\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\)

D. \(A{A_1}{B_1}B\) là hình chữ nhật.

Xem đáp án » 16/04/2024 2,083

Câu 3:

Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là

A. \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].

B. \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].

C. \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].

D. \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].

Xem đáp án » 16/04/2024 1,861

Câu 4:

Cho tứ diện \(ABCD,\) vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) là

A. Cắt nhau.

B. Song song.

C. Chéo nhau.

D. Trùng nhau.

Xem đáp án » 16/04/2024 1,733

Câu 5:

Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right)\) là

A. 0.

B. \( - \infty .\)

C. 1.

D. \( + \infty .\)

Xem đáp án » 16/04/2024 1,297

Câu 6:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. \(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \).

B. \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\).

C. \(\sin 4\alpha = 4\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

D. \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

Xem đáp án » 16/04/2024 1,090

Câu 7:

Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a.\) Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) (xem hình vẽ). Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,...,\,{C_n},\,...\). Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\,\,\left( {i \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,...} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính \(a.\)

Xem đáp án » 16/04/2024 1,067

Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025

Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025

Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack