Để hoàn thành hợp đồng đúng hạn, một nhà máy tổ chức cho công nhân làm việc theo hai ca, ca I từ 7h30 đến 15h30 và ca II từ 16h00 đến 22h00. Mỗi ca có số công nhân làm việc tối thiểu là 40 người và tối đa là 120 người. Số công nhân làm việc ở cả hai ca ít nhất là 100 người.

Thu nhập tăng thêm cho mỗi công nhân được tính theo Bảng 2.

Tính số lượng công nhân làm việc cho từng ca sao cho số tiền nhà máy trả cho thu nhập tăng thêm là nhỏ nhất.

Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B người đó cần sơn (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Số tiền lãi người đó thu được là: T = 10x + 8y (triệu đồng).

Số kg sơn xanh người đó cần dùng là: 6x + 2y ≤ 12 hay 3x + y ≤ 6;

Số kg sơn vàng người đó cần dùng là: 2x + 2y ≤ 8 hay x + y ≤ 4.

Vì vậy, yêu cầu của người đó có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):  

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 10x + 8y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 4), B(1; 3), C(2; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y)  = 10x + 8y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 4) = 32; T(1; 3) = 34; T(2; 0) = 20.

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 10x + 8y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(1; 3) = 34.

Bước 4. Vì 1 và 3 đều là các số tự nhiên nên cặp số (1; 3) là nghiệm của bài toán (I).

Vậy để số tiền lãi thu được là lớn nhất thì cần sơn 1 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B.

Gọi bác Dũng cần mua x cổ phiếu A và y cổ phiếu B (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Khi đó, số tiền bác Dũng cần chi ra là: 30 000x + 40 000y (đồng).

Vì số tiền bác Dũng đầu tư không quá 1,2 tỉ đồng nên ta có:

30 000x + 40 000y ≤ 1 200 000 000 hay 3x + 4y ≤ 120 000.

Vì số lượng cổ phiếu B được mua không quá 10 000 cổ phiếu nên y ≤ 10 000.

Một cổ phiếu A sẽ nhận được số tiền chi trả cổ tức là: 5% . 30 000 = 1 500 (đồng).

Một cổ phiếu B sẽ nhận được số tiền chi trả cổ tức là: 12% . 40 000 = 4 800 (đồng).

Do đó, bác Dũng nhận được số tiền chi trả cổ tức là: T = 1 500x + 4 800y (đồng).

Vì vậy, yêu cầu của bác Dũng có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 1 500x + 4 800y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 10 000),  C(40 000; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 1 500x + 4 800y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 10 000) = 48 000 000; 

T(40 000; 0) = 60 000 000.

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 1 500x + 4 800y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, kết hợp điều kiện x và y là các số tự nhiên, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(40 000; 0) = 60 000 000.

Vậy bác Dũng nên đầu tư loại A 40 000 cổ phiếu để lợi nhuận thu được là lớn nhất.