Để hoàn thành hợp đồng đúng hạn, một nhà máy tổ chức cho công nhân làm việc theo hai ca, ca I từ 7h30 đến 15h30 và ca II từ 16h00 đến 22h00. Mỗi ca có số công nhân làm việc tối thiểu là 40 người và tối đa là 120 người. Số công nhân làm việc ở cả hai ca ít nhất là 100 người.

Thu nhập tăng thêm cho mỗi công nhân được tính theo Bảng 2.

Tính số lượng công nhân làm việc cho từng ca sao cho số tiền nhà máy trả cho thu nhập tăng thêm là nhỏ nhất.

Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B người đó cần sơn (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Số tiền lãi người đó thu được là: T = 10x + 8y (triệu đồng).

Số kg sơn xanh người đó cần dùng là: 6x + 2y ≤ 12 hay 3x + y ≤ 6;

Số kg sơn vàng người đó cần dùng là: 2x + 2y ≤ 8 hay x + y ≤ 4.

Vì vậy, yêu cầu của người đó có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):  

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 10x + 8y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 4), B(1; 3), C(2; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y)  = 10x + 8y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 4) = 32; T(1; 3) = 34; T(2; 0) = 20.

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 10x + 8y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(1; 3) = 34.

Bước 4. Vì 1 và 3 đều là các số tự nhiên nên cặp số (1; 3) là nghiệm của bài toán (I).

Vậy để số tiền lãi thu được là lớn nhất thì cần sơn 1 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B.

Đổi 40 triệu đồng = 40 000 nghìn đồng.

Gọi x là số chiếc bàn và y là số chiếc tủ cần sản xuất (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Số ghế cần sản xuất là: 6x (chiếc).

Tổng doanh thu đạt được là: T = 260.x + 120.6x + 600.y = 980x + 600y (nghìn đồng).

Công lao động để sản xuất các loại sản phẩm trên là:

2x + 1.6x + 3y ≤ 500 hay 8x + 3y ≤ 500.

Chi phí sản xuất các loại sản phẩm trên là:

100x + 40.6x + 250y ≤ 40 000 hay 34x + 25y ≤ 4 000.

Vì vậy, yêu cầu của cơ sở sản xuất có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):  

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 980x + 600y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 160), C(62,5; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 980x + 600y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 160) = 96 000;  T(62,5; 0) = 61 250.

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 980x + 600y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, kết hợp điều kiện x và y là các số tự nhiên, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(0; 160) = 96 000.

Vậy chỉ cần sản xuất 160 chiếc tủ để tổng doanh thu đạt được cao nhất.