Câu hỏi:

01/10/2024 3,215

Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/h, chạy 8 km/h và quãng đường \(BC = 8\) km. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến \(B\) là bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí (ảnh 2)

Đặt \(CD = x\) (km, \(x \ge 0\)). Quãng đường chạy bộ \(DB = 8 - x\) (km) và quãng đường chèo thuyền \[AD = \sqrt {9 + {x^2}} \] (km).

Rõ ràng \(x\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le 8\).

Khi đó, thời gian chèo thuyền là \(\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\) (giờ) và thời gian chạy bộ là \(\frac{{8 - x}}{8}\) (giờ).

Tổng thời gian mà người đàn ông cần có là:

\(T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\), \(x \in \left[ {0;\,8} \right]\).

Ta có: \(T'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}\). Trên khoảng \(\left( {0;8} \right)\), \(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\).

\(T\left( 0 \right) = \frac{3}{2};\,T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8};\,\,T\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {73} }}{6}\).

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} T\left( x \right) = T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8}\).

Vậy thời gian ngắn nhất mà người đàn ông cần dùng là \(1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,3\) (giờ) và đi bằng cách chèo thuyền đến điểm \(D\) cách \(C\) một khoảng \(\frac{9}{{\sqrt 7 }}\)km rồi từ đó chạy bộ đến điểm \(B\).

Đáp số: \(1,3\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm \(O\) trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm \(A,\,B,\,C\) trên đèn tròn sao cho các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt trên mối dây \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\) (N) (như hình vẽ). Trọng lượng của chiếc đèn tròn đó là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {O{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} \). Lấy các điểm \({D_1},{A'_1},\,{B'_1},\,{D'_1}\) sao cho \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) là hình hộp như hình dưới đây.

Một chiếc đèn tròn được treo song song (ảnh 2)

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {O{{D'}_1}} \).

Mặt khác, do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\) (N) nên hình hộp \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) có ba cạnh \(O{A_1},\,O{B_1},\,O{C_1}\) đôi một vuông góc và bằng nhau.

Do đó, hình hộp \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15.

Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng \(15\sqrt 3 \).

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P \), ở đó \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Vậy trọng lượng của chiếc đèn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \right| = 15\sqrt 3 \approx 26\) (N).

Đáp số: \(26\).

Câu 2

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {B'D} \).

b) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} \).

c) \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = 2a\).

d) Với \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,BB'\) thì \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D} \). Do đó, ý a) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \ne \overrightarrow {BD} \). Vậy ý b) sai.

– Ta có: \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {C'A} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {C'C} \).

Do đó, \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {CC'} } \right| = CC' = a\). Vậy ý c) sai.

–

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh (ảnh 1)

Vì \(AC'\) là đường chéo của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\) nên \(AC' = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {AM} \)\( = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

Suy ra \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)^2}\)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {BB'} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {AD} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {AD} \)

\( = {a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + 0 - 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2}{a^2}\).

Do đó, \({\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{3}{2}{a^2}\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\).

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {AC'} \cdot \overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2}\)\( + \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD} \)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BB'} \)

\( = {a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} = {a^2}\).

Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {AC'} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\). Do đó, ý d) đúng.

Câu 3