Khảo sát điểm trung bình năm học của hai nhóm học sinh lớp 12 ngẫu nhiên của hai trường A và B ta được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khi đó:

a) Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì điểm trung bình năm của học sinh trường B đồng đều hơn.

b) Điểm trung bình của học sinh trường A cao hơn điểm trung bình của học sinh trường B.

c) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường A học đều hơn.

d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường A đồng đều hơn.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Đáp án đúng là: B

a)

Khoảng biến thiên về điểm trung bình của học sinh trường A là:

\({R_A} = 10 - 4 = 6\) (điểm).

Khoảng biến thiên về điểm trung bình của học sinh trường B là:

\({R_B} = 9 - 4 = 5\) (điểm).

Do đó, nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì điểm trung bình năm của học sinh trường B đồng đều hơn.

Vậy ý a đúng.

b) Số điểm trung bình của học sinh trường A là:

\(\overline {{x_A}} = \frac{{3.4,5 + 7.5,5 + 12.6,5 + 8.7,5 + 5.8,5 + 1.9,5}}{{3 + 7 + 12 + 8 + 5 + 1}} \approx 6,72.\)

Số điểm trung bình của học sinh trường B là:

\(\overline {{x_B}} = \frac{{6.4,5 + 4.5,5 + 15.6,5 + 7.7,5 + 6.8,5}}{{6 + 4 + 15 + 7 + 6}} \approx 6,58.\)

Vậy điểm trung bình của học sinh trường A cao hơn điểm trung bình của học sinh trường B.

Do đó ý b đúng.

c) Xét về khoảng tứ phân vị

Với học sinh trường A:

Cỡ mẫu: \(n = 3 + 7 + 12 + 8 + 5 + 1 = 36\).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{36}}{4} = 9\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {5;6} \right)\).

Do đó, \({Q_1} = 5 + \frac{{9 - 3}}{7}\left( {6 - 5} \right) = \frac{{41}}{7}.\)

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.36}}{4} = 27\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là \(\left[ {7;8} \right)\).

Do đó, \({Q_3} = 7 + \frac{{27 - \left( {3 + 7 + 12} \right)}}{8}\left( {8 - 7} \right) = \frac{{61}}{8}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trường A là:

\(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{61}}{8} - \frac{{41}}{7} = \frac{{99}}{{56}} \approx 1,77.\)

Với học sinh trường B:

Cỡ mẫu: \(n = 6 + 4 + 15 + 7 + 6 = 38\).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{38}}{4} = 9,5\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {5;6} \right)\).

Do đó, \({Q_1} = 5 + \frac{{9,5 - 6}}{4}\left( {6 - 5} \right) = 5,875.\)

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.38}}{4} = 28,5\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là \(\left[ {7;8} \right)\).

Do đó, \({Q_3} = 7 + \frac{{28,5 - \left( {6 + 4 + 15} \right)}}{7}\left( {8 - 7} \right) = 7,5.\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trường B là:

\(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 7,5 - 5,875 = 1,625.\)

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường B học đều hơn.

Do đó ý c sai.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu của trường A là:

\({s_A} = \sqrt {\frac{{3.4,{5^2} + 7.5,{5^2} + 12.6,{5^2} + 8.7,{5^2} + 5.8,{5^2} + 1.9,{5^2}}}{{36}} - 6,{{72}^2}} \approx 1,239.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trường B là:

\({s_B} = \sqrt {\frac{{6.4,{5^2} + 4.5,{5^2} + 15.6,{5^2} + 7.7,{5^2} + 6.8,{5^2}}}{{38}} - 6,{{58}^2}} \approx 1,238.\)

Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường B đồng đều hơn.

Vậy ý d sai.