Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E(2;1;3)\), mặt phẳng \((P):2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu \((S)\): \({(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(E\), nằm trong mặt phẳng \((P)\) và cắt \((S)\) tại hai điểm A, B có khoảng cách nhỏ nhất.

	Đúng	Sai
Điểm E nằm ngoài mặt cầu (S).
Δ có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u  = ( - 1;1;0)\].
A, B nằm trên đường tròn giao tuyến có tâm là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Đáp án

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu \((S):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\), có tâm I(3;2;5) và bán kính R = 6.

Ta có: \(\overrightarrow {EI}  = (1;1;2) \Rightarrow EI = |\overrightarrow {EI} | = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}}  = \sqrt 6  < 6 = R\). Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S).

Ta lại có: E ∈ (P) và \[\left\{ \begin{array}{l}E \in \Delta \\\Delta  \subset \left( P \right)\end{array} \right.\]

Nên giao điểm của (Δ) và (S) nằm trên đường tròn giao tuyến (C) tâm K của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

Giả sử Δ ∩ (S) = {A;B}. Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi d(K,Δ) lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên (Δ) khi đó d(K;Δ) = KF ≤ KE.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi F ≡ E.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot \left( P \right)\\KE \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IK \bot \Delta \\KE \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow IE \bot \Delta \).

Ta có: \(\left[ {{{\vec n}_{(P)}},\overrightarrow {EI} } \right] = (5; - 5;0)\), cùng phương với \[\overrightarrow u  = (1; - 1;0).\]

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \subset \left( P \right)\\\Delta  \bot IE\end{array} \right.\) nên Δ có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u  = (1; - 1;0).\]

Suy ra phương trình đường thẳng Δ:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right.\)​.