Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k + 1\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\).

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
\(F\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).	¡	¡
\(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k\) trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).	¡	¡
Tổng \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right) +  \ldots \)\( + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right)\) bằng 2049300.	¡	¡

Giải thích

Ta có \(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right){\rm{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{ - 1}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}{\rm{\;d}}x = {\rm{cot}}x + C\).

Do \(F\left( x \right)\) không xác định tại \(x = l\pi ,l \in \mathbb{Z}\) nên phát biểu \(F\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là sai.

Xét trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + {C_k}\).

Có \(\frac{\pi }{4} + k\pi  \in \left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\) mà \(F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k + 1\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\) nên

\({\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) + {C_k} = k + 1\) hay \({C_k} = k\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy \(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k\) trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right) +  \ldots  + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right)\)

\( = {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + {C_0} + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + {C_1} +  \ldots  + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + {C_{2023}} + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right) + {C_{2024}}\)

\( = 0 + 1 + 2 +  \ldots  + 2023 + 2024\)

\( = \frac{{2024\left( {2024 + 1} \right)}}{2} = 2049300\).