Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k + 1$ với mọi $k \in \mathbb{Z}$.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
$F\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.	¡	¡
$F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k$ trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.	¡	¡
Tổng $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right) +  \ldots$$+ F\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right)$ bằng 2049300.	¡	¡

Giải thích

Ta có $F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right){\rm{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{ - 1}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}{\rm{\;d}}x = {\rm{cot}}x + C$.

Do $F\left( x \right)$ không xác định tại $x = l\pi ,l \in \mathbb{Z}$ nên phát biểu $F\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là sai.

Xét trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ thì $F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + {C_k}$.

Có $\frac{\pi }{4} + k\pi  \in \left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)$ mà $F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k + 1$ với mọi $k \in \mathbb{Z}$ nên

${\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) + {C_k} = k + 1$ hay ${C_k} = k$ với mọi $k \in \mathbb{Z}$.

Vậy $F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k$ trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right) +  \ldots  + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right)$

$= {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + {C_0} + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + {C_1} +  \ldots  + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + {C_{2023}} + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right) + {C_{2024}}$

$= 0 + 1 + 2 +  \ldots  + 2023 + 2024$

$= \frac{{2024\left( {2024 + 1} \right)}}{2} = 2049300$.