Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ bên. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{{{x^2}}}{2},\forall x \in \mathbb{R}\).

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x\) bằng _______.

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x\) bằng  _______.

Đáp án

Biết \(F\) là nguyên hàm của \(f\) thỏa mãn \(F\left( { - 1} \right) =  - 1\). Giá trị của \(F\left( 4 \right) + F\left( 6 \right)\) bằng (1) __5__.

Giải thích

Từ đồ thị của hàm số ta xác định được \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}1&{{\rm{\;khi\;}} - 1 \le x < 2}\\{ - \frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{\;khi\;}}2 \le x \le 6}\end{array}} \right.\).

Do \(F\) là nguyên hàm của \(f\) nên \(F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + {C_1}}&{{\rm{\;khi\;}} - 1 \le x < 2}\\{ - \frac{1}{4}{x^2} + 2x + {C_2}}&{{\rm{khi\;}}2 \le x \le 6\,\,\,}\end{array}} \right.\).

Ta có \(F\left( { - 1} \right) =  - 1 \Leftrightarrow  - 1 + {C_1} =  - 1 \Leftrightarrow {C_1} = 0\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;6} \right] \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;6} \right]\).

\( \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\)

Suy ra \(F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{{\rm{\;khi\;}} - 1 \le x < 2}\\{ - \frac{1}{4}{x^2} + 2x - 1}&{{\rm{khi\;}}2 \le x \le 6\,\,}\end{array}} \right.\).

Vậy \(F\left( 4 \right) + F\left( 6 \right) = 5\).