Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 27)

Đáp án

Người ta trồng 144 cây trong một khu vườn hình tam giác theo quy luật như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 3 cây, hàng thứ ba có 5 cây, …. Số hàng cây trong khu vườn là (1) __12__.

Giải thích

Cách trồng 144 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n}\) là số cây ở hàng thứ \(n\), số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 2\).

Tổng số cây trồng được là \({S_n} = 144 \Leftrightarrow \frac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2} = 144\) \( \Leftrightarrow 2{n^2} = 288 \Rightarrow n = 12\).

Như vậy số hàng cây trong khu vườn là 12.

Đáp án

a) Bắt một chuyến xe đi từ địa điểm I đến một địa điểm bất kì. Khi đó, xác suất người đó phải trả dưới 20 000 đồng tiền vé xe buýt là \(\frac{3}{4}\).

b) Đi từ địa điểm I đến địa điểm III qua 1 trạm trung gian. Khi đó, xác suất người đó trả trên 25 000 đồng tiền vé xe buýt là \(\frac{2}{3}\).

Giải thích

a) Có 4 cách để đi từ địa điểm I đến 1 địa điểm bất kì, trong đó có 3 cách để chỉ tốn dưới 20 000 đồng tiền vé xe buýt là đi theo tuyến I – II, I – III, I – V. Vậy xác suất cần tìm là \[\frac{3}{4}\].

b) Để đi từ địa điểm I đến địa điểm III qua 1 trạm trung gian ta có bảng sau:

Từ bảng ta có 2 cách để người đó phải trả trên 25 000 đồng là đi theo tuyến I – II – III, I – IV – III .

Vậy xác suất cần tìm là \[\frac{2}{3}\].

Đáp án:

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;0; - 1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right),C\left( {1;0;1} \right)\). Biết \(M\) là điểm thỏa mãn \(P = 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng (1) _-9/4_.

Giải thích

Giả sử \(M(x;y;z) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AM}  = (x;y;z + 1)\,\,\,\,\,\,}\\{\overrightarrow {BM}  = (x + 1;y - 1;z)}\\{\overrightarrow {CM}  = (x - 1;y;z - 1)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{M^2} = {x^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{B{M^2} = {{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}}\\{C{M^2} = {{(x - 1)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2}}\end{array}} \right.} \right.\) 

\( \Rightarrow 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2} = 3\left[ {{x^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}} \right] + 2\left[ {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}} \right] - \left. {\left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + } \right.{{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\)

\( = 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} + 6x - 4y + 8z + 5 = {\left( {2x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {(2y - 1)^2} + {(2z + 2)^2} - \frac{9}{4} \ge  - \frac{9}{4}\).

Dấu" \( = \) " xảy ra \( \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{4},y = \frac{1}{2},z =  - 1\), khi đó \(M\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\).

Giải thích

Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 2\) thì hàm số phải liên tục tại \(x = 2\).

Do đó .

Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 2\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^3} - {x^2} - 8x + 10 - ( - 2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + ax + b - (4 + 2a + b)}}{{x - 2}}\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + x - 6} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 2 + a)\)

\( \Leftrightarrow 4 + a = 0 \Leftrightarrow a =  - 4\).

Suy ra \(b = 2\). Vậy \(ab =  - 8\).

 Chọn D

Đáp án

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có diện tích đáy \(S = 10{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\), cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \({30^ \circ }\) và độ dài cạnh bên bằng \(10{\rm{\;cm}}\). Thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng (1) __50__ \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Giải thích

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\).

Suy ra \(AH\) là hình chiếu của \(AA'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Do đó, \({60^ \circ } = \left( {AA',\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AA',AH} \right) = \widehat {A'AH}\).

Tam giác \(A'AH\) vuông tại \(H\), có: \(A'H = AA'.{\rm{sin}}\widehat {A'AH} = 5\).

Vậy $V=S_{△ABC}.A^{\text{'}}H=50\left({\text{cm}}^3\right)$

Đáp án

Giải thích

+ Khối tứ diện đều có 4 đỉnh và 4 mặt.

+ Có 5 khối đa diện đều lần lượt là: {3;3}; {3;4}; {4;3} ;{3;5};{5;3}.

+ Có ba loại khối đa diện đều mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều là: khối tứ diện đều, khối bát diện đều và khối hai mươi mặt đều.

+ Trong một hình đa diện, mỗi cạnh là cạnh chung của hai mặt.

Giải thích

Ta có:

\( \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}}\).

Mặt khác, phương trình \(f\left( x \right) + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất.

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}}\) có 1 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

 Chọn C

Đáp án

Mức cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được là 0  B.

Khi mức cường độ âm đạt đến ngưỡng đau \(\left( {13B} \right)\) thì cường độ âm là 10 \({\rm{W}}/{{\rm{m}}^2}\).

Giải thích

Cường độ âm thấp nhất là \(I = {I_0}\). Khi đó, mức cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được là \(L = {\rm{log}}1 = 0\left( B \right)\).

Khi \(L = 13\left( B \right)\) thì \(I = {10^L}{I_0} = {10^{13}}{.10^{ - 12}} = 10\left( {{\rm{W}}/{{\rm{m}}^2}} \right)\)