Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 28)

Giải thích

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có \(IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.2 + 1.\left( { - 2} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn và \(R\) là bán kính mặt cầu.

Ta có chu vi đường tròn là \(2\pi r = 8\pi  \Rightarrow r = 4\).

Bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {I{H^2} + {r^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\).

Gọi \(\left( \alpha  \right):2x + 2y + z + 11 = 0\).

Ta có \(d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.2 + 1.\left( { - 2} \right) + 11} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 5 = R\).

\( \Rightarrow \left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( \alpha  \right)\).

Số hình chữ nhật có trên hình là: (1) ___540__.

Số hình vuông có trên hình là: (2) ___100___.

Giải thích

Cứ hai đường kẻ ngang phân biệt và 2 đường kẻ dọc phân biệt cho ta một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật là: \(C_9^2 \times C_6^2 = 540\).

Số hình vuông là: \(8 \times 5 + 7 \times 4 + 6 \times 3 + 5 \times 2 + 4 \times 1 = 100\).

Xác suất bán cho \(k\) cửa hàng trong một ngày là \(C_{10}^k.{(0,4)^k}.{(0,6)^{10 - k}}\).

Thử lần lượt các giá trị của \(k\), thì giá trị lớn nhất đạt tại \(k = 4\).

Gọi độ dài cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân là \(x,y\) (thỏa mãn \(x,y\) là các chữ số)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le x \le 9}\\{1 \le y \le 9}\\{1 \le y < 2x}\end{array}} \right.\)

TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le y \le 9}\\{5 \le x \le 9}\end{array} \Rightarrow } \right.\) có \(9.5 = 45\) cặp số \(\left( {x;y} \right)\).

TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le x \le 4}\\{x = i}\\{1 \le y \le 2i - 1}\end{array}} \right.\)

Với mỗi giá trị của \(i\) có \(2i - 1\) cặp số thỏa mãn, do đó ta có:

\(\left( {2.1 - 1} \right) + \left( {2.2 - 1} \right) + \left( {2.3 - 1} \right) + \left( {2.4 - 1} \right) = 16\) cặp số \(\left( {x;y} \right)\)

Suy ra có 61 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) mà với mỗi cặp, ta có thể viết số có 3 chữ số trong đó có 2 chữ số \(x\) và 1

chữ số \(y\). Trong 61 cặp số này có:

+ 9 cặp \(x = y\) thì viết được 9 số.

+ 52 cặp \(x \ne y\) thì mỗi cặp viết được 3 số \(\left( {\overline {xxy} ,\overline {xyx} ,\overline {yxx} } \right)\) nên có \(52.3 = 156\) số.

Vậy tất cả viết được 165 số.

Đặt \(g\left( x \right) = ax + 2a + 1\).

Hàm số liên tục tại $x_0=0\iff {\text{lim}}_{x\to 0}f\left(x\right)=f\left(0\right)=3$.

Để tồn tại  thì \(g\left( 0 \right) \ne 0 \Leftrightarrow a \ne  - \frac{1}{2}\).

Với \(a \ne  - \frac{1}{2}\) thì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \frac{2}{{2a + 1}} \Rightarrow \frac{2}{{2a + 1}} = 3 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{6}\).

Bất phương trình trở thành: \({x^2} - 6x + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 5\).

Vì \(x\) nguyên nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Vậy bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.

Đáp án: “1/2”

Giải thích

Đặt \(\frac{{DK}}{{DD'}} = x\).

Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(\frac{{B'M}}{{B'B}} = x\).

Ta có \(A'M//KC\) nên \(d\left( {CK;A'D} \right) = d\left( {CK;\left( {A'MD} \right)} \right) = d\left( {K;\left( {A'MD} \right)} \right)\).

Gọi \(N = AK \cap A'D;P = AB \cap A'M\). Khi đó \(\frac{{d\left( {K;\left( {A'MD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right)}} = \frac{{NK}}{{NA}} = \frac{{DK}}{{AA'}} = x\).

Suy ra \(d\left( {CK;A'D} \right) = x.d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right) = x.d\left( {A;\left( {A'DP} \right)} \right)\).

\(\frac{{A'B'}}{{BP}} = \frac{{B'M}}{{BM}} = \frac{x}{{1 - x}}\) suy ra \(BP = \frac{{A'B'\left( {1 - x} \right)}}{x} = \frac{{a\left( {1 - x} \right)}}{x}\) nên \(AP = BP + AB = \frac{{a\left( {1 - x} \right)}}{x} + a = \frac{a}{x}\).

Tứ diện \(A.A'DP\) vuông tại \(A\) nên \(\frac{1}{{{d^2}\left( {A;\left( {A'DP} \right)} \right)}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{{{x^2} + 2}}{{{a^2}}}\)

Suy ra \(d\left( {A;\left( {A'DP} \right)} \right) = \frac{a}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\). Do đó \(d\left( {CK;A'D} \right) = \frac{{ax}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\)

Mà \(d\left( {CK;A'D} \right) = \frac{a}{3}\) suy ra \(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{1}{3}\). Giải phương trình này thu được \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\frac{{DK}}{{DD'}} = \frac{1}{2}\).

Cho hàm số \(y = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{1 + {\rm{cos}}x}} + \frac{1}{{1 - {\rm{cos}}x}} + {\rm{cot}}x\left( C \right)\). Số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) với đường thẳng \(y = 2\) trên đọan \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là 3 , trong đó điểm có hoành độ \(\frac{{\pi a}}{b}\) với \(a = \)-1 ,\(b = \) 4 \((a,b \in \mathbb{Z};b > 0;\left( {a;b} \right) = 1)\)nằm gần trục tung nhất.

Giải thích

Điều kiện xác định của hàm số \(\left( C \right):\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}x \ne  \pm 1}\\{{\rm{sin}}x \ne 0}\end{array}} \right) \Leftrightarrow x \ne k\pi \left( {k, \in ,\mathbb{Z}} \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{{\rm{sin}}x}}{{1 + {\rm{cos}}x}} + \frac{1}{{1 - {\rm{cos}}x}} + {\rm{cot}}x = 2\,\,\left( * \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{\rm{sin}}x\left( {1 - {\rm{cos}}x} \right) + 1 + {\rm{cos}}x}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} + \frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 2\)

\( \Rightarrow {\rm{sin}}x - {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x + 1 + {\rm{cos}}x + {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{cos}}2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x} \right)\left( {1 + {\rm{cos}}x - {\rm{sin}}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x + \cos x = 0}\\{1 + \cos x - \sin x = 0}\end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x =  - 1}\\{\sin \left( {x, - ,\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi (t,m)}\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (t,m)}\\{x = \pi  + k2\pi (L)}\end{array}} \right)(k, \in ,\mathbb{Z})\)

Xét \( - \pi  \le  - \frac{\pi }{4} + k\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} \le k \le \frac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Xét \( - \pi  \le \frac{\pi }{2} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow k = 0\).

Vậy có 3 nghiệm của (*) trên \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) hay số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) với đường thẳng \(y = 2\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là 3 , trong đó điểm có hoành độ \(\frac{{ - \pi }}{4}\) nằm gần trục tung nhất \( \Rightarrow a =  - 1;{\rm{\;}}b = 4\).