Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(K\) là một điểm thuộc cạnh \(DD'\) (\(K\) khác \(D\) và \(D'\)) sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CK\) và \(A'D\) bằng \(\frac{a}{3}\). Tỉ số \(\frac{{DK}}{{DD'}}\) bằng

(1) __________.

Đáp án: “1/2”

Giải thích

Đặt \(\frac{{DK}}{{DD'}} = x\).

Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(\frac{{B'M}}{{B'B}} = x\).

Ta có \(A'M//KC\) nên \(d\left( {CK;A'D} \right) = d\left( {CK;\left( {A'MD} \right)} \right) = d\left( {K;\left( {A'MD} \right)} \right)\).

Gọi \(N = AK \cap A'D;P = AB \cap A'M\). Khi đó \(\frac{{d\left( {K;\left( {A'MD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right)}} = \frac{{NK}}{{NA}} = \frac{{DK}}{{AA'}} = x\).

Suy ra \(d\left( {CK;A'D} \right) = x.d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right) = x.d\left( {A;\left( {A'DP} \right)} \right)\).

\(\frac{{A'B'}}{{BP}} = \frac{{B'M}}{{BM}} = \frac{x}{{1 - x}}\) suy ra \(BP = \frac{{A'B'\left( {1 - x} \right)}}{x} = \frac{{a\left( {1 - x} \right)}}{x}\) nên \(AP = BP + AB = \frac{{a\left( {1 - x} \right)}}{x} + a = \frac{a}{x}\).

Tứ diện \(A.A'DP\) vuông tại \(A\) nên \(\frac{1}{{{d^2}\left( {A;\left( {A'DP} \right)} \right)}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{{{x^2} + 2}}{{{a^2}}}\)

Suy ra \(d\left( {A;\left( {A'DP} \right)} \right) = \frac{a}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\). Do đó \(d\left( {CK;A'D} \right) = \frac{{ax}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\)

Mà \(d\left( {CK;A'D} \right) = \frac{a}{3}\) suy ra \(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{1}{3}\). Giải phương trình này thu được \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\frac{{DK}}{{DD'}} = \frac{1}{2}\).