Mặt cầu và đường thẳng

Thi Online Mặt cầu và đường thẳng

Đề số 1

Mặt cầu và đường thẳng

423 lượt thi
23 câu hỏi
45 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = R^{2}$ . Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:

A.R=4

B.R=2

C. $R = \pm 1$

D.R=1

Xem đáp án

Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ $\{\begin{matrix} x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = R^{2} \\ x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{matrix}$

(S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép $\Leftrightarrow t^{2} + 1 = R^{2}$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow R^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow R = 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ là:

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

B. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24$

Xem đáp án

Phương trình mặt cầu (S) có dạng ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = R^{2}$

Phương trình tham số của d là: $d : \{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = 2 + t \end{matrix}$

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ

$\{\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = R^{2} \\ x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = 2 + t \end{matrix} (*)$

(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi (∗) có nghiệm kép
$\Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t)}^{2} = R^{2}$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow 6 t^{2} + 2 = R^{2}$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow R^{2} = 2$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và đường thẳng $d : x - 1 = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 4}{3}$ . (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng:

A. $A B = \frac{\sqrt{126}}{7}$

b. $A B = \frac{\sqrt{123}}{7}$

c. $A B = \sqrt{\frac{126}{7}}$

d. $A B = \frac{\sqrt{129}}{7}$

Xem đáp án

Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được: $d : \{\begin{matrix} x = t + 1 \\ y = 2 + 2 t \\ z = 4 + 3 t \end{matrix}$

Giả sử A là giao điểm của (d) và (P).

Vì $A \in d : \{\begin{matrix} x = t + 1 \\ y = 2 + 2 t \\ z = 4 + 3 t \end{matrix}$ nên ta có: $A (t + 1; 2 + 2 t; 4 + 3 t)$

Mặt khác $A \in (S)$ nên ta có

${(t + 1 - 1)}^{2} + {(2 + 2 t + 2)}^{2} + {(4 + 3 t - 3)}^{2} = 9$

$\Leftrightarrow t^{2} + {(4 + 2 t)}^{2} + {(1 + 3 t)}^{2} = 9$

$\Leftrightarrow 14 t^{2} + 22 t + 8 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = - 1 \\ t = - \frac{4}{7} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} A (0; 0; 1) \\ B (\frac{3}{7}; \frac{6}{7}; \frac{16}{7}) \end{matrix} \Rightarrow A B = \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} + {(\frac{6}{7})}^{2} + {(\frac{16}{7})}^{2}} = \frac{\sqrt{126}}{7}$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0) và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 9$

B. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25$

C. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 64$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 25$

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên $O y \Rightarrow H (0; - 2; 0)$

$\Rightarrow \vec{I H} = (- 3; 0; 0) \Rightarrow I H = 3$

Mặt khác ta có: $A H = \frac{A B}{2} = 4$

Suy ra $R^{2} = A H^{2} + H I^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25$

(S) có tâm I(3;−2;0) và bán kính R với $R^{2} = 25$

Suy ra: $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 25$
Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 4 z - 16 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{2}$ . Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).

A. $(P) : 2 x - 2 y + z - 8 = 0$

B. $(P) : 2 x - 2 y + z - 8 = 0$

C. $(P) : 2 x - 11 y + 10 z - 35 = 0$

D. $(P) : - 2 x + 2 y - z + 11 = 0$

Xem đáp án

Ta xét mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 25$

$\Rightarrow I (1; 2; - 2); R = 5$

Điểm A(1;−3;0) thuộc d nên $A \in (P)$ và $d (I; (P)) = 5$ nên thử các đáp án ta thấy C đúng.

Đáp án cần chọn là: C

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Các bài thi hot trong chương:

Hệ tọa độ trong không gian

( 545 lượt thi )

Tích có hướng và ứng dụng

( 499 lượt thi )

Bài toán về điểm và vectơ

( 461 lượt thi )

Phương trình mặt phẳng

( 490 lượt thi )

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

( 472 lượt thi )

Phương pháp quy nạp toán học và dãy số

( 1.2 K lượt thi )

Ứng dụng thể tích các khối đa diện vào thực tế

( 1 K lượt thi )

Bất phương trình có mũ

( 709 lượt thi )

Công thức biến đổi lượng giác

( 695 lượt thi )

Bài toán đếm

( 675 lượt thi )

Đánh giá trung bình

Thi Online Mặt cầu và đường thẳng