Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 26

Đáp án: \(\pi \int\limits_0^2 {x\,{\rm{d}}x} \).

\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^2 {x{\rm{d}}x} \).

Đáp án: Đúng – Đúng – Sai – Sai.

Tốc độ ban đầu của ô tô là 72 km/h = 20 m/s.

Quãng đường ô tô đi được trong 5 giây đầu tiên là: \({S_1} = 5 \cdot 20 = 100{\rm{m}}\).

Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu giảm tốc đến khi tách khỏi làn là: \({S_2} = 300 - 100 = 200{\rm{m}}\)nên phát biểu thứ nhất đúng.

Thời điểm bắt đầu giảm tốc ta có \(t = 0 \Rightarrow v(0) = b = 20\)nên phát biểu thứ hai đúng.

Ta có \(v(t) = at + 20({\rm{m/s}})\)

Biết xe tách làn sau 12 giây kể từ khi giảm tốc, nên ta có

\(200 = \int\limits_0^{12} {\left( {at + 20} \right)dt} = 72a + 240 \Rightarrow a = - \frac{5}{9}\).

\( \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{5}{9}t + 20{\rm{ (m/s)}}\).

Quãng đường ô tô đi được trong 16 giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc là

\(\int\limits_0^{16} {\left( { - \frac{5}{9}t + 20} \right)dt} = \frac{{2240}}{9} \approx 248,88\)m nên phát biểu thứ ba sai.

Ta có \(v\left( t \right) = - \frac{5}{9}t + 20{\rm{ (m/s)}}\)

\( \Rightarrow v\left( {18} \right) = - \frac{5}{9} \cdot 18 + 20 = 10{\rm{ }}({\rm{m/s}}) = 36({\rm{km/h}})\) nên phát biểu thứ tư sai.

Đáp án: \({x^3} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + C\).

\(\int {\left( {3{x^2} + {\rm{cosx}}} \right)dx} = {x^3} + \sin x + C\).

Đáp án:

Đáp án: Đúng – Đúng – Đúng.

\(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - {2^{ - x}}\ln 2 \cdot {\left( { - x} \right)^\prime } = \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right) \cdot \ln 2\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Xét \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}x + 2\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right) \cdot \ln 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Suy ra \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\(g\left( x \right) = - \frac{1}{2}x + 2\) nghịch biến trên\(\mathbb{R}\)

Suy ra phương trình \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}x + 2\) có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mà \(x = 1\)là nghiệm của phương trình, nên phương trình \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}x + 2\) có nghiệm duy nhất nên phát biểu thứ hai đúng.

Xét \(f\left( x \right) = {2^x} - {2^{ - x}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\), suy ra \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\)

\(f\left( { - x} \right) = {2^{ - x}} - {2^x} = - \left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)\). Suy ra \( - f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\).

Vậy \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ

\[f\left( m \right) + f\left( {2m - {2^{12}}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( m \right) < - f\left( {2m - {2^{12}}} \right) \Leftrightarrow f\left( m \right) < f\left( { - 2m + {2^{12}}} \right)\]

Do \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên suy ra \[m < - 2m + {2^{12}} \Leftrightarrow m < \frac{{4096}}{3} \approx 1365,3\] nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án:

Đáp án: 10.

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

Mà \(BC \bot AB,AB \cap BC = B \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Mà \[BC \bot AB \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA} = 60^\circ \].

Gọi \(O = AC \cap BC\). Kẻ \(OH \bot SC\)

Ta có: \(AC \bot BD,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot OH \Rightarrow d\left( {SC,BD} \right) = OH\).

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) có: \(SA = AB \cdot {\rm{tan}}\widehat {SBA} = a \cdot {\rm{tan}}60^\circ = a\sqrt 3 \).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có: \(AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 5 \).

Xét \(\Delta CHO\) và \(\Delta CAS\) có: \(\hat C\) chung, \(\widehat {CHO} = \widehat {CAS} = 90^\circ \).

.

Đáp án:

Đáp án: Sai – Sai.

Ta có khối tròn xoay đó được tạo thành khi quay hình phẳng \(QAMBN\)quanh trục \(Ox\). Mà \({S_{OQAM}} = {S_{ONBM}}\) nên thể tích của khối tròn xoay đó sẽ bằng 2 lần thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(ONBM\) quanh trục \(Ox\)nên phát biểu thứ nhất sai.

+) Viết phương trình đường thẳng\[MB\]: đi qua\[M\left( {0;1} \right)\], \[B\left( {2;2} \right)\]

Có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MB} = \left( {2;1} \right)\) suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;2} \right)\).

Suy ra \(MB: - 1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2y--2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1.\)

+) Tương tự, ta viết được phương trình đường thẳng \[NB\]là

\( - 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y--0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2x - 2.\) \[ \Rightarrow V = 2\left( {\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {2x - 2} \right)}^2}dx} } \right) = \frac{{20}}{3}\pi \] nên phát biểu thứ hai sai.

Đáp án:

Đáp án: 149.

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Hoa chọn được bi số 9.

Trong trường hợp này số của Hoa chắc chắn lớn hơn số của Bình.

Xác suất Hoa chọn được bi số 9 là \(\frac{{C_8^2}}{{C_9^3}} = \frac{1}{3}\).

Trường hợp 2. Hoa không chọn được số 9.

Xác suất để Hoa không chọn được số 9 là \(\frac{{C_8^3}}{{C_9^3}} = \frac{2}{3}\).

Trong trường hợp này Hoa chọn số cùng tập với Bình nên xác suất Hoa chọn được số lớn hơn cũng bằng xác suất Bình chọn được số lớn hơn.

Ta tính xác suất để 2 bạn chọn được cùng số:

- Số cách chọn của hai bạn là: \(C_8^3 \cdot C_8^3\).

- Số cách để Hoa chọn được ba số bất kỳ là \(C_8^3\); Ứng với mỗi cách chọn của Hoa thì Bình chỉ có một cách chọn để giống Hoa nên số cách hai người chọn được số giống nhau là \(C_8^3\).

Vậy, xác suất để 2 bạn chọn được cùng số là \(\frac{{C_8^3}}{{C_8^3 \cdot C_8^3}} = \frac{1}{{56}}\) nên xác suất để Hoa chọn được số lớn hơn là: \(\frac{{1 - \frac{1}{{56}}}}{2} = \frac{{55}}{{112}}\).

Do đó xác suất trong trường hợp này là \(\frac{2}{3} \cdot \frac{{55}}{{112}} = \frac{{55}}{{168}}\).

Vậy, xác suất cần tìm là \(\frac{1}{3} + \frac{{55}}{{168}} = \frac{{37}}{{56}}\).

Khi đó: \(a + 2b = 37 + 2 \cdot 56 = 149.\)

Đáp án:

Đáp án: \(\frac{{19}}{{25}};\frac{{13}}{{25}}\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Học sinh đó thích chơi đá bóng", ta có \(P\left( A \right) = \frac{{31}}{{50}}\).

Gọi \(B\) là biến cố: " Học sinh đó thích chơi cầu lông", ta có \(P\left( B \right) = \frac{{12}}{{50}} = \frac{6}{{25}}\).

Theo giả thiết \(P\left( {AB} \right) = \frac{5}{{50}} = \frac{1}{{10}}\).

Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{{31}}{{50}} + \frac{{12}}{{50}} - \frac{5}{{50}} = \frac{{38}}{{50}} = \frac{{19}}{{25}}\).

Ta có \(A = AB \cup A\bar B\), do \(AB\) và \(A\bar B\) xung khắc nên \(P\left( A \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {A\bar B} \right)\).

Do đó \(P\left( {A\bar B} \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{{31}}{{50}} - \frac{1}{{10}} = \frac{{26}}{{50}} = \frac{{13}}{{25}}\).