Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,3x - 2y + z + 1 = 0\). Phương trình của mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Đáp án:

Đáp án: Sai – Sai.

\(y = \cos x + \sin x = \sqrt 2 \cdot \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Chu kì \(T = 2\pi \) nên phát biểu thứ nhất sai.

Hàm số \(y = \cos x + \sin x\) là hàm số không chẵn không lẻ nên phát biểu thứ hai sai.

Đáp án:

Đáp án: 9.

Gọi \(P\)là trung điểm của \(AC\), \(E\) là điểm đối xứng của \(P\) qua \(G\).

Khi đó tứ giác\(AGCE\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(AGCE\)là hình bình hành.

\( \Rightarrow \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {AE} \).

+ Dựng \(EF \bot BC\,\,\left( {F \in BC} \right)\).

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AE} } \right| = \left| {\overrightarrow {IE} } \right| = IE \ge EF\).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) nhỏ nhất khi \(I \equiv F\).

+ Ta có: \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{5}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {HC} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \).

+ Gọi \(Q\) là hình chiếu vuông góc của \(P\) lên \(BC\) \(\left( {Q \in BC} \right)\).

Ta có: \(\frac{{BP}}{{BE}} = \frac{{3GP}}{{BP + PE}} = \frac{{3GP}}{{3GP + GP}} = \frac{3}{4}\).

+ Do \(PQ\) // \(EF\)(vì cùng vuông góc với \(BC\)).

Nên \(\Delta BPQ\) và \(\Delta BEF\) đồng dạng \( \Rightarrow \frac{{BQ}}{{BF}} = \frac{{BP}}{{BE}} = \frac{3}{4}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} \).

+ \(\Delta AHC\) có \(P\) là trung điểm \(AC\) và \(PQ\) // \(AH\) (do cùng vuông góc với \(BC\)).

\( \Rightarrow PQ\) là đường trung bình. Khi đó, \(Q\) là trung điểm \(HC\) hay \(\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \).

\(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{4}{3}\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} } \right) = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{5}\overrightarrow {BC} + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \)

Vậy \(M = 4 + 5 = 9\).