Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 21

Đáp án: 2019.

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số \(y = f(x)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left[ {1;3} \right]\)tại x₀ = 2.

Vậy \(x_0^2 - 2{x_0} + 2019 = 2019\) .

Đáp án: \[a + b + c = 4\].

Ta có:\(y' = \left( {2ax + b} \right) \cdot {e^{ - cx}} + \left( { - c} \right) \cdot \left( {a{x^2} + bx} \right){e^{ - cx}}\) \( = \left[ { - ac{x^2} + \left( {2a - bc} \right)x + b} \right]{e^{ - cx}}\)

Khi đó \(\left[ { - ac{x^2} + \left( {2a - bc} \right)x + b} \right]{e^{ - cx}} = \left( { - {x^2} + 2} \right){e^{ - x}}\)

Đồng nhất hệ số ta được:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1}\\{ac = 1}\\{2a - bc = 0}\\{b = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1}\\{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.} \right.\) .

Vậy \[a + b + c = 4\].

Đáp án: 19; 10.

Ta có \({u_5} = {u_1} \cdot {q^{5 - 1}} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{3}{{16}}\). Vậy \[a + b = 19\].

Ta có \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} \Rightarrow \frac{3}{{512}} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} = \frac{1}{{512}}\) \( \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 512 \Leftrightarrow n - 1 = 9 \Leftrightarrow n = 10\).

Đáp án: Xung khắc; \(\frac{{23}}{{40}}\).

Ta có A và B là hai biến cố xung khắc.

Ta có \(A \cup B\) là biến cố chọn một nam sinh giỏi Toán hay một nữ sinh giỏi Lý.

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{15}}{{40}} = \frac{3}{8}{\rm{\; và\; }}P\left( B \right) = \frac{8}{{40}} = \frac{1}{5}\).

 Do A, B xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{5} = \frac{{23}}{{40}}\).

Đáp án: \(\left( {0;2} \right)\); \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

\({9^{\frac{x}{2}}} + 9 \cdot {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{2x + 2}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {3^x} + 3 \cdot \frac{1}{{{3^x}}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} - 4 \cdot {3^x} + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} = 1}\\{{3^x} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array} \Rightarrow S = 0 + 1 = 1.} \right.} \right.\)

Đáp án: 3.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} + bx - 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {a - 1} \right){x^2} + \left( {1 - b} \right)x + 3}}{{\sqrt {a{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} + bx - 2} }}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {a - 1} \right)x + 1 - b + \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {a + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \frac{b}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} }} = 1\) \[\,{\rm{khi}}\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\\frac{{1 - b}}{{ - \sqrt a - 1}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow a \cdot b = 3\].

Đáp án: Đúng – Sai – Sai.

\(\left| {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = 1}\\{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = - 1}\end{array}} \right.\)

\({\rm{f}}({\rm{x}}) = 1\) có 1 nghiệm và \({\rm{f}}({\rm{x}}) = - 1\) có 1 nghiệm.

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left| {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right| = 1\) có 2 nghiệm phân biệt nên phát biểu thứ nhất đúng.

Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to - {2^ - }} {\rm{f}}({\rm{x}}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {2^ + }} {\rm{f}}({\rm{x}}) = + \infty \)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) có 2 đường tiệm cận đứng là \({\rm{y}} = - 2;{\rm{y}} = 2\) nên phát biểu thứ hai sai.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to - \infty } {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{2}{{3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2}} = - \frac{2}{5}\); \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to + \infty } {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{2}{{3 \cdot 1 - 2}} = 2\).

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang.

Xét phương trình \(3{\rm{f}}({\rm{x}}) - 2 = 0 \Leftrightarrow {\rm{f}}({\rm{x}}) = \frac{2}{3}\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: phương trình \({\rm{f}}({\rm{x}}) = \frac{2}{3}\) có duy nhất một nghiệm.

Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận nên phát biểu thứ ba sai.

Đáp án: Đúng – Đúng.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\AB \subset (SAB)\\CD \subset (SCD)\\S \in (SAB) \cap (SCD)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\)nên phát biểu thứ nhất đúng.

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\) thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(BC//\left( {SAD} \right)\) nên \(d\left( {BC,SD} \right) = d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(SA\) thì \(BI \bot SA\) thì \(BI \bot \left( {SAD} \right)\) (do \(AD \bot \left( {SAB} \right) \supset BI\)).

Suy ra \({\rm{d}}\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = BI = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) nên phát biểu thứ hai đúng.