Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 18

Đáp án: Đúng – Sai.

Có \({u_2} = {u_1}^2 = 4 = {2^{{2^{2 - 1}}}}\); \({u_3} = {4^2} = 16 = {2^{{2^{3 - 1}}}}\); \({u_4} = {16^2} = 256 = {2^{{2^{4 - 1}}}}\);…; \({u_n} = {2^{{2^{n - 1}}}}\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Vì \(\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} \ne \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không là một cấp số nhân nên phát biểu thứ hai sai.

Đáp án: 0,5.

Có \({x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 0,x = 1\).

\[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} \]\[ = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^3}} \right)dx} \]\[ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0,5\].

Đáp án: 0; 2.

Có \(f'\left( x \right) = \cos x;f''\left( x \right) = - \sin x\).

Có \(f'\left( 0 \right) = \cos 0 = 1;f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \frac{\pi }{2} = - 1\). Do đó \(f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + f'\left( 0 \right) = 0\).

Có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).

Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên \(x = \frac{\pi }{2};x = \frac{{3\pi }}{2}\).

Bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số \(f\left( x \right)\) có hai cực trị.

Đáp án: 0.

Ta có \({4^x} - 5 \cdot {2^x} + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 4} \right)\left( {{2^x} - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 4\\{2^x} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array} \right.\).

Do đó tích các nghiệm của phương trình bằng 0.

Đáp án: 240.

Vì An và Bình luôn đứng cạnh nhau, ta "buộc" họ thành một nhóm \(X\).

Trong nhóm \(X\), An và Bình có thể đổi chỗ cho nhau, có \(2! = 2\) cách.

Coi nhóm \(X\) là 1 thực thể, kết hợp với 4 học sinh còn lại, ta có 5 thực thể để xếp hàng. Số cách xếp là \(5! = 120\) cách.

Tổng số cách: \(120 \cdot 2 = 240\).

Đáp án: \(45^\circ \).

Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) là điểm \(A\) (vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).

Do đó, hình chiếu của đường thẳng \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng \(AC\).

Góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) chính là góc \(\widehat {SCA}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) cạnh \(a\): \(AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông \(SAC\): \(tan\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).

Đáp án: Đúng – Đúng – Đúng.

Thay \(a = 2\) và \(b = 2\) vào công thức định nghĩa: \(2 \bullet 2 = {\log _2}2 + {\log _2}2 = 1 + 1 = 2\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Thay \(a = 2\) vào biểu thức: \({\log _2}b + {\log _b}2 = 2,5 \Leftrightarrow {\log _2}b + \frac{1}{{{{\log }_2}b}} = 2,5\).

Đặt \(t = {\log _2}b\), phương trình trở thành: \(t + \frac{1}{t} = 2,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 0,5\end{array} \right.\).

\(t = 2 \Rightarrow {\log _2}b = 2 \Rightarrow b = {2^2} = 4\).

\(t = 0,5 \Rightarrow {\log _2}b = 0,5 \Rightarrow b = {2^{0,5}} = \sqrt 2 \). Do đó phát biểu thứ hai đúng.

Vì \(a,b > 1\) nên \({\log _a}b > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương \({\log _a}b\) và \({\log _b}a\):

\({\log _a}b + {\log _b}a \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b \cdot {{\log }_b}a} \)

Mà \({\log _a}b \cdot {\log _b}a = 1\). Suy ra: \(a \bullet b \ge 2\sqrt 1 = 2\) nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: Đúng – Sai – Đúng.

Vì\(y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó phát biểu thứ nhất đúng.

Có \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\). Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Do đó phát biểu thứ hai sai.

Tâm đối xứng là giao điểm 2 đường tiệm cận \(x = 2\) và \(y = 1 \Rightarrow I(2;1)\) nên phát biểu thứ ba đúng.