Đề tham khảo Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2026 có đáp án (Đề 20)

Giải chi tiết:

a) Sai: Hàm số không xác định tại \(x = - 1\)

b) Sai: Khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \to + \infty \Rightarrow y \to + \infty }\\{x \to - \infty \Rightarrow y \to - \infty }\end{array}} \right.\) nên hàm số không có tiệm cận ngang

c) Sai: Hàm số có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\)

d) Sai: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^{ - 1}}} y = + \infty \) nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\)

Đáp án cần chọn là: S; S; S; S

Giải chi tiết:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của \[AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD.\]

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 4; - 4;0);\overrightarrow {BC} = (8;3; - 3);\overrightarrow {CD} = ( - 7; - 3; - 4)\)

Trung điểm của \[AB\] là: \(M( - 1;3;4)\)

Trung điểm của \(BC\) là: \(N\left( {1;\frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right)\)

Trung điểm của \(CD\) là: \(P\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}; - 1} \right)\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của \[AB\]: \((x + 1) + (y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của \(BC\):

\(8(x - 1) + 3\left( {y - \frac{5}{2}} \right) - 3\left( {z - \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 8x + 3y - 3z - 8 = 0\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của \(CD\):

\(7\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + 3\left( {y - \frac{5}{2}} \right) + 4(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 7x + 3y + 4z - 14 = 0\)

Bước 2: Khi đó giao điểm \(I\) của \(3\) mặt phẳng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD,\]tìm bán kính \[IA.\]

Gọi \(I\) là giao điểm của \(3\) mặt phẳng trung trực vừa tìm được

Khi đó ta có tọa độ của \(I\) thỏa mãn hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 2 = 0}\\{8x + 3y - 3z - 8 = 0}\\{7x + 3y + 4z - 14 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow I(1;1;1) \Rightarrow IA = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}} = 5\)

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] bằng \(5.\)

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết:

Bước 1: Gọi \(a\) là độ dài cạnh của tứ diện đều khi đó ta có:

\(R = \frac{{3a}}{{2\sqrt 6 }} \Leftrightarrow a = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}R\)

Gọi \(b\) là độ dài hình lập phương, ta có:

\(R = \frac{{\sqrt {{b^2} + {b^2} + {b^2}} }}{2} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow b = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\)

Bước 2: Tỉ số cạnh của tứ diện đều và lập phương có cùng mặt cầu ngoại tiếp

\(\frac{a}{b} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}:\frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 2 \)

Bước 3: Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Thể tích tứ diện đều cạnh \(a\) là \({V_1} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Thể tích khối lập phương cạnh \(b\) là: \({V_2} = {b^3}\)

Vậy tỉ lệ thể tích: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{12}} = 2\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{1}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [3x - 4f(x)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (3x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 4f(x) = 0 - 4 \cdot 5 = - 20\)

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\bar x = \frac{{2,5 \cdot 8 + 7,5 \cdot 16 + 12,5 \cdot 4 + 17,5 \cdot 2 + 22,5 \cdot 2}}{{32}} \approx 8,44{\rm{ }}\)(giờ)

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết:

Ta có \({(3 - x)^6} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k} {3^{6 - k}}{( - x)^k} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k} {3^{6 - k}}{( - 1)^k}{x^k}\).

Hệ số của \({x^3}\) tương ứng với \(k = 3\). Khi đó ta có hệ số của \({x^3}\) là

\(C_6^3 \cdot {3^3} \cdot {( - 1)^3} = - 540\).

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án đúng là: \(1.\)

Giải chi tiết:

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (3; - 2;2),\overrightarrow {{n_\beta }} = (5; - 4;3)\).

\( \Rightarrow [\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} ] = (2;1; - 2)\).

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) và có VTPT

\(\vec n = (2;1; - 2):2x + y - 2z = 0\).

Vậy \(a + b + c = 2 + 1 - 2 = 1\).

Đáp án cần điền là: 1

Giải chi tiết:

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - x - 1 > 0}\\{x - 1 > 0}\end{array}} \right.\)

Ta có

\({\log _2}({x^2} - x - 1) - {\log _2}(x - 1) = 0 \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} - x - 1) = {\log _2}(x - 1)\)

\( \Rightarrow {x^2} - x - 1 = x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, phương trình có một nghiệm \(x = 2\).

Đáp án cần chọn là: B