Đề tham khảo Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2026 có đáp án (Đề 15)

Phương pháp giải:

Xác định công thức tính đường chéo chính

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Giải chi tiết:

Gọi ba cạnh hình hộp chữ nhật là \[a;\,\,b;\,\,c.\] Khi đó: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 9\) và \(V = abc.\) Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ngay:

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \ge \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\\ \Rightarrow \frac{9}{3} \ge \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\\ \Rightarrow 3 \ge \sqrt[3]{{{V^2}}}\\ \Rightarrow 27 \ge {V^2}\\ \Rightarrow V \le \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \end{array}\)

 Thể tích lớn nhất bằng \(3\sqrt 3 \) khi \({a^2} = {b^2} = {c^2} \Rightarrow a = b = c\)

Vậy thể tích lớn nhất bằng \(3\sqrt 3 \) khi hình hộp là hình lập phương.

Đáp án: A, D

Phương pháp giải: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec c.\vec a = 0}\\{\vec c.\vec b = 0}\end{array}} \right.\)

Giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có \(\vec c = \left( {x;y;z} \right)\) khác \(\vec 0\) và vuông góc với cả hai vectơ \(\vec a = \left( {1;3;4} \right),\vec b = \left( { - 1;2;3} \right)\) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\vec c \cdot \vec a = 0}\\{\vec c \cdot \vec b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1x + 3y + 4z = 0}\\{ - 1x + 2y + 3z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1x + 3y + 4z = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1x + 3y + 4 \cdot \frac{{ - 5}}{7}y = 0}\\{z = \frac{{ - 5}}{7}y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x + y = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm và biến đổi biểu thức

Giải chi tiết:

Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) là ba nghiệm của phương trình bậc ba \(f\left( x \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) + \left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'\left( {{x_1}} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}\\{f'\left( {{x_2}} \right) = \left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}\\{f'\left( {{x_3}} \right) = \left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(P = \frac{1}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}}.\)

\( = \frac{{\left( {{x_2} - {x_3}} \right) - \left( {{x_1} - {x_3}} \right) + \left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}} = 0\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tỷ lệ khoảng cách và tam giác vuông

Giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{d\left( {C,\left( {B'DI} \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( {B'DI} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{BO}} = \frac{{DC}}{{BI}} = \frac{3}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {C,\left( {B'DI} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {B,\left( {B'DI} \right)} \right)\).

  \(\frac{{d\left( {B,\left( {B'DI} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {B'DI} \right)} \right)}} = \frac{{BI}}{{AI}} = 2 \Rightarrow d\left( {B,\left( {B'DI} \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( {B'DI} \right)} \right)\)

Ta có:  \({S_{{\rm{\Delta }}AIB'}} = \frac{{{S_{ABCD}}}}{6} = \frac{{{a^2}}}{6} \Rightarrow AK = \frac{{2{S_{{\rm{\Delta }}AIB'}}}}{{IB'}} = \frac{a}{{\sqrt {13} }}\)

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{{13}}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{{14}}{{{a^2}}}\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {B'DI} \right)} \right) = AH = \frac{a}{{\sqrt {14} }}\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {B'DI} \right)} \right) = 3d\left( {A,\left( {B'DI} \right)} \right) = \frac{{3a}}{{\sqrt {14} }}\).

 Đáp án:

Trong không gian \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) và điểm \[A\left( {3;2;0} \right).\] Tọa độ điểm đối xứng \(A'\) của điểm \(A\) qua đường thẳng \(d\) là \[A\prime \left( {\; - 1;0;4\;} \right).\]

Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng bằng cách tham số hóa

Giải chi tiết:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \[1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 0} \right) = 0\; \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 7 = 0.\]

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d,\) khi đó \[H = d \cap \left( P \right).\]

Suy ra \[H \in d \Rightarrow H\left( { - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t} \right),\] mặt khác \[H \in \left( P \right)\; \Rightarrow - 1 + t - 6 + 4t - 4 + 4t - 7 = 0\; \Rightarrow t = 2.\] Vậy \[H\left( {1;1;2} \right).\]

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(d,\) khi đó \(H\) là trung điểm của \[{\rm{AA'}}\] suy ra \[A\prime \left( { - 1;0;4} \right).\]

Đáp án: A, C, D

Phương pháp giải:

Nhận diện các đặc trừng bảng biến thiên: tính đơn điệu, giá trị nhỏ nhất, tiệm cận của đồ thị hàm số

Giải chi tiết:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Mà \(\left\{ { - 3; - 2} \right\} \in \left( { - \infty ;0} \right); - 3\left\langle { - 2 \Rightarrow f\left( { - 3} \right)} \right\rangle f\left( { - 2} \right)\)nên b đúng

Các đáp án còn lại sai

Hàm số không đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất cấp số nhân

Giải chi tiết:

Diện tích rừng để đạt được tỷ lệ che phủ \(45{\rm{\% }}\)là: \(\frac{{140600.45}}{{39,8}} \approx 158970{\rm{ha}}\).

Vậy cần phải che phủ thêm \(158970 - 140600 = 18370{\rm{ha}}\).

Do mỗi năm diện tích rừng trồng mới của tỉnh đều tăng \(6{\rm{\% }}\) so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước nên diện tích rừng trồng mới tăng thêm sau \(n\) năm là:

\({S_n} = 1000.\left( {{{\left( {1,06} \right)}^1} + {{\left( {1,06} \right)}^2} + {{\left( {1,06} \right)}^3} + ... + {{\left( {1,06} \right)}^n}} \right) = 1000.\frac{{1,06.\left( {1 - {{\left( {1,06} \right)}^n}} \right)}}{{1 - 1,06}}\).

Theo giả thiết ta có:  \(1000.\frac{{1,06.\left( {1 - {{\left( {1,06} \right)}^n}} \right)}}{{1 - 1,06}} = 18370\)

                 \( \Rightarrow {\left( {1,06} \right)^n} = 2,04 \Rightarrow n = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{1,06}}2,04 \approx 12,2\)

Sau \(13\) năm thì diện tích rừng tthành phố \(X\) đạt tỷ lệ che phủ \(45{\rm{\% }}\).

Vậy đến năm \(2035\) thỉ tỷ lệ che phủ rừng của thành phố \(X\) đạt \(45{\rm{\% }}\).