Đề tham khảo Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2026 có đáp án (Đề 19)

Đáp án đúng là: 0

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(u = {e^{ - x}}\), tìm khoảng giá trị của \(u\) và xét tính đơn điệu của hàm hợp.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = {e^{ - x}}\). Vì \(x \in \left( {\ln 2; + \infty } \right)\) nên \(u \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) và \(u'\left( x \right) = - {e^{ - x}} < 0\) (hàm nghịch biến).

Do đó, để hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\ln 2; + \infty } \right)\) thì hàm số \(g\left( u \right) = \frac{{mu + 9}}{{u + m}}\) phải nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

Ta có \(g'\left( u \right) = \frac{{{m^2} - 9}}{{{{\left( {u + m} \right)}^2}}}\).

Hàm số \(g\left( u \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 9 < 0}\\{ - m \notin \left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < m < 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m \le 0}\\{ - m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < m < 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 0}\\{m \le - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le m < 3}\\{ - 3 < m \le - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Vì \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn là: \(\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 + 1 + 2 = 0\).

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số trong tích phân. Đặt \(u = {x^2}\), tính vi phân du, thực hiện đổi cận và đưa biểu thức về dạng tích phân đã cho.

Lời giải chi tiết:

Xét tích phân \(I = \int_0^{\sqrt 2 } x \cdot f({x^2})dx\).

Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du\).

Đổi cận:

Với \(x = 0 \Rightarrow u = 0\).

Với \(x = \sqrt 2 \Rightarrow u = 2\).

Khi đó, tích phân \(I\) được viết lại thành:\(I = \int_0^2 f (u) \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int_0^2 f (u)du\).

Vì giá trị của tích phân xác định không phụ thuộc vào ký hiệu biến số nên \(\int_0^2 f (u)du = \int_0^2 f (x)dx = 6\).

Vậy \(I = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\).

Đáp án đúng là: Mệnh đề 1: Đúng. Mệnh đề 2: Đúng. Mệnh đề 3: Sai. Mệnh đề 4: Đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc đếm tổ hợp và biến cố đối để tính xác suất.

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu khi lấy đồng thời 3 viên bi: \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^3 = 120\).

Mệnh đề 1: Đúng. Số cách lấy 3 viên bi xanh (không có bi đỏ): \(C_6^3 = 20\). Số cách lấy ít nhất 1 viên đỏ: \(120 - 20 = 100\). Xác suất: \(P = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\).

Mệnh đề 2: Đúng. Số cách lấy 3 viên cùng màu: \(C_4^3\) (đỏ) \( + C_6^3\) (xanh) \( = 4 + 20 = 24\). Số cách lấy đủ 2 màu: \(120 - 24 = 96\). Xác suất: \(P = \frac{{96}}{{120}} = \frac{4}{5}\).

Mệnh đề 3: Sai. Số bi đỏ nhiều hơn bi xanh tức là lấy được 2 đỏ 1 xanh hoặc 3 đỏ. Số cách: \(C_4^2 \cdot C_6^1 + C_4^3 = 6 \cdot 6 + 4 = 40\). Xác suất: \(P = \frac{{40}}{{120}} = \frac{1}{3} \ne \frac{1}{6}\).

Mệnh đề 4: Đúng. Lấy có hoàn lại, xác suất lấy 1 viên đỏ mỗi lần là \(\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\). Xác suất 3 lần đều đỏ là \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^3} = \frac{8}{{125}}\).

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải:

Thiết lập hàm số diện tích toàn phần theo bán kính \(r\), sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Thể tích hình trụ \(V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {r^2}}}\).

Diện tích toàn phần của hình trụ là: \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + 2\pi r\left( {\frac{V}{{\pi {r^2}}}} \right) = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\).

Xét hàm số \(S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\) với \(r > 0\).

\(S'\left( r \right) = 4\pi r - \frac{{2V}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\).

\(S'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow 4\pi {r^3} = 2V \Leftrightarrow V = 2\pi {r^3}\).

Thay \(V = \pi {r^2}h\) vào, ta được: \(\pi {r^2}h = 2\pi {r^3} \Leftrightarrow h = 2r \Leftrightarrow \frac{h}{r} = 2\).

Đáp án đúng là: A, C, D

Phương pháp giải:

Dựa vào tập xác định và tính chất liên tục của các hàm số cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \left| x \right|\), \(y = \sin x\) và \(y = \frac{x}{{\left| x \right| + 1}}\) đều có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\) và liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y = \frac{x}{{x + 1}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - 1} \right\}\) nên không liên tục tại điểm \(x = - 1\).

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải:

Sử dụng dữ kiện ban đầu để tìm hằng số tăng trưởng \(r\), sau đó giải phương trình mũ để tìm thời gian \(t\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({P_0} = 1000\). Sau 2 giờ (\(t = 2\)), \(P\left( 2 \right) = 4000\).

Thay vào công thức: \(4000 = 1000 \cdot {e^{2r}} \Leftrightarrow {e^{2r}} = 4 \Leftrightarrow {e^r} = 2\).

Để số lượng vi khuẩn đạt 32000 con, ta có:

\(32000 = 1000 \cdot {e^{rt}} \Leftrightarrow {e^{rt}} = 32 \Leftrightarrow {\left( {{e^r}} \right)^t} = 32 \Leftrightarrow {2^t} = 32 \Leftrightarrow t = 5\).

Vậy sau 5 giờ số lượng vi khuẩn sẽ đạt 32000 con.

Phương pháp giải:

Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Thể tích lăng trụ \(V = {S_{ABC}} \cdot A'G\).

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm BC. G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có \(A'G \bot \left( {ABC} \right)\). Suy ra AG là hình chiếu của A'A lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Góc giữa A'A và \(\left( {ABC} \right)\) là góc $\widehat{A^{\text{'}}AG}={30}^{°}$

Tam giác ABC đều cạnh \(2a\sqrt 3 \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3 \).

Tam giác ABC có đường trung tuyến \(AM = \frac{{2a\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2} = 3a \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AM = 2a\).

Tam giác A'AG vuông tại G có $\widehat{A}={30}^{°}\Rightarrow A^{\text{'}}G=AG\cdot \tan {30}^{°}=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích \(V = {S_{ABC}} \cdot A'G = 3{a^2}\sqrt 3 \cdot \frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = 6{a^3}\).

Đáp án đúng là: Mệnh đề 1: Sai. Mệnh đề 2: Đúng. Mệnh đề 3: Đúng.

Phương pháp giải:

Nhận diện đồ thị hàm số đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Lập bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) và suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề 1: Sai. Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) có phần nằm dưới trục hoành (Ox) nên giá trị nhỏ nhất mang dấu âm, không thể bằng 0.

Mệnh đề 2: Đúng. Đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và đổi dấu qua các điểm này. Vậy hàm số có 4 điểm cực trị.

Mệnh đề 3: Đúng. Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) chứa \(\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị \(f'\left( x \right)\) nằm hoàn toàn dưới trục hoành (\(f'\left( x \right) < 0\)), suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).