Đề tham khảo Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2026 có đáp án (Đề 16)

Phương pháp giải: Giới hạn hàm số tại vô cùng.

Giải chi tiết:

Ta có  \(\mathop {lim}\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to + \infty } \frac{{45{t^2} - 15t + 5}}{{9{t^2} + 1}} = \mathop {lim}\limits_{t \to + \infty } \frac{{45 - \frac{{15}}{t} + \frac{5}{{{t^2}}}}}{{9 + \frac{1}{{{t^2}}}}} = \frac{{45}}{9} = 5\).

Vậy nồng độ bão hòa của oxygen trong hồ là \[5{\rm{ }}mg/l.\]

Trong một cuộc thi các môn thể thao trên tuyết, người ta muốn thiết kế một dường trượt bằng băng cho nội dung đổ dốc tốc độ đường dài.

Vận động viên sẽ xuất phát từ vị trí \[\left( {0;15} \right)\;\] cao \[15m\]  so với mặt dất (trục \[Ox\]). Đường trượt phải thoả mãn yêu cầu là càng ra xa thì càng gần mặt đất để tiết kiệm lượng tuyết nhân tạo. Một nhà thiết kế đề nghị sử dụng đường cong là đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = 150x + 10,\] với \[x \ge 0.\]

Phương pháp giải: Xét từng mệnh đề.

Giải chi tiết:

a) Ta có \(f\left( 0 \right) = \frac{{150}}{{10}}\) nên đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0;15} \right)\).

b) Chọn bất kì \({x_1},{x_2} \in \left[ {0; + \infty } \right]\) và \({x_1} \ne {x_2}\).

Ta có \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\frac{{150}}{{{x_2} + 10}} - \frac{{150}}{{{x_1} + 10}}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

\( = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_1} + 10} \right)\left( {{x_2} + 10} \right)}}\)

\( = - \frac{1}{{\left( {{x_1} + 10} \right)\left( {{x_2} + 10} \right)}} < 0\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) hay hàm số giảm trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

c) Ta có\(\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{150}}{{x + 10}} = 0\).

Vậy khi \(x\) càng lớn, đồ thị của hàm số càng gần trục \(Ox\) với khoảng cách nhỏ tuỳ ý.

Giải chi tiết:

1.     Ta có \(AB = BC = CA = 2\sqrt 2 \) và \(DA = DB = DC = 2\sqrt 2 \)

Khi đó \(ABCD\) là tứ diện đều.

2.     Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có dạng \(\left( S \right):\) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\).

Vì \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D \in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - 4a + d = 0}&{}\\{4 - 4b + d = 0}&{}\\{4 - 4c + d = 0}&{}\\{12 - 4a - 4b - 4c + d = 0}&{}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 4a - 4}&{}\\{a = b = c}&{}\\{12 - 12a + 4a - 4 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 0}\\{a = b = c = 1}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(I\left( {1;1;1} \right)\), do đó bán kính mặt cầu là \(R = IA = \sqrt 3 \).

Giải chi tiết:

\({\rm{C\'o }}I = \int_0^a 2 {5^x}{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{{\ln 25}} \cdot {25^x}|_0^a = \frac{1}{{\ln 25}}({25^a} - {25^0}) = \frac{1}{{\ln 25}}({25^a} - 1).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {1;4} \right);f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {2;3} \right]\).

Đáp án đúng là: \(1.\)

Giải chi tiết:

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta thấy đồ thị có hai đường tiệm cận, trong đó tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1.\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{c}{b} = - 2}\\{\frac{a}{b} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2b\\a = b\end{array} \right.\)

Lại có hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nên

\(f'(x) = \frac{{ - ac + 4b}}{{{{(bx - c)}^2}}} < 0 \Rightarrow - ac + 4b < 0.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - b\left( { - 2b} \right) + 4b < 0\\ \Leftrightarrow 2{b^2} + 4b < 0\\ \Leftrightarrow - 2 < b < 0\end{array}\)

\( \Rightarrow b\) âm

\( \Rightarrow a = b \Rightarrow \) \(a\) âm

Mà \(c = - 2b\)\( \Rightarrow \)\(c\) dương.

Vậy trong các số \(a,\,\,b,\,\,c\) có \(1\) số dương.

Phương pháp giải: Tập xác định hàm \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x\) là \(x > 0\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(Q = 3{t^2} + 8t + 2\) \( \Rightarrow Q'\left( t \right) = 6t + 8\) là cường độ dòng điện tại thời điểm \(t.\)

\[ \Rightarrow I = Q\prime \left( t \right) = 6t + 8 = 50 \Rightarrow t = 7\left( s \right)\]

Phương pháp giải: Áp dụng dấu hiệu chia hết

Giải chi tiết:

Tổng các chữ số trong chữ V,I,E,T,N,A,M là \(7\)

Ta lấy: \[2025:7 = 289\;\] dư \[2\]

Vậy chữ cái thứ \(2025\) là chữ I.

Phương pháp giải:

- Gọi \(H\) là chân đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\)

- Khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(AO\) ta được hình nón có thể tích là: \({V_N}\), có đáy là đường tròn đường kính \(BC\)

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là chân đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\)

Vì tam giác \(ABC\) đều nên ta có: \(AH = 3OH = 3r\), \(AH = BC\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow BC = \frac{2}{{\sqrt 3 }}AH = .r2\sqrt 3 \)

Khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(AO\) ta được hình nón có thể tích là: \({V_N}\), có đáy là đường tròn đường kính \(BC\) khi đó: \({S_N} = \pi H{C^2} = \pi {r^2}3\), chiều cao của hình nón là: \(AH = 3r\), khi đó thể tích hình nón là: \({V_N} = \frac{1}{3}AH.{S_N} = \frac{1}{3}3r.\pi {r^2}3 = 3\pi {r^3}\)(đvtt)

Thể tích khối cầu khi quay hình tròn \(\left( {O;r} \right)\) quanh trục \(AO\) là: \({V_C} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\)

Vậy thể tích \(V\) của khối tròn xoay thu được khi quay tam giác \(ABC\)đã cắt bỏ phần hình tròn quanh trục\(AO\) là: \(V = {V_N} - {V_C} = 3\pi {r^3} - \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{5}{3}\pi {r^3}\)