Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 5)

Trong 30 giây bánh xe quay được \(30.\frac{{11}}{5} = 66\) (vòng).

Chu vi của bánh xe là 600π (mm).

Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 30 giây là

600π.66 = 39600π (mm) = 39,6π (m) ≈ 124 (m)

Do đó ta điền đáp án

(m).

a) Thời điểm 10 giờ 30 phút sáng, tức t = 10,5, khi đó \(B(10,5) = 80 + 7\sin \frac{{10,5\pi }}{{12}} \approx 82,68\)

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 10 giờ 30 phút sáng xấp xỉ 82,68 mmHg.

b) Thời điểm 12 giờ trưa, tức t = 12, khi đó \(B(12) = 80 + 7\sin \frac{{12\pi }}{{12}} = 80\).

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 12 giờ trưa là 80 mmHg.

c) Ta có:

\(B(t) = 80 + 7\sin \frac{{t\pi }}{{12}} \le 80 + 7 \Leftrightarrow \sin \frac{{t\pi }}{{12}} = 1\) \( \Leftrightarrow \frac{{t\pi }}{{12}} = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow t = 6\).

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 6 giờ sáng là 87 mmHg.

Do đó ta có đáp án như sau

a) Huyết áp tâm trương của người này vào 10 giờ 30 phút sáng là  82,68 (mmHg).

b) Huyết áp tâm trương của người này vào 12 giờ trưa là 80 (mmHg).

c) Huyết áp của người đó đạt cao nhất tại thời điểm sớm nhất trong ngày là lúc 6 (giờ).

\(y = \cos x + \sin x = \sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Chu kì \(T = 2\pi \Rightarrow \) Phát biểu 1 sai.

Hàm số \(y = \cos x + \sin x\) là hàm số không chẵn không lẻ Þ Phát biểu 2 sai.

Xét \(y = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác \( \Rightarrow \) Phát biểu 3 sai.

Do đó ta có đáp án như sau

a) Quan sát đồ thị ta thấy chu kì của hàm số là T = 2π.

b) Chu kì của hàm số là \(T = \frac{{2\pi }}{{|b|}} \Rightarrow \;|b| = 1\).

Do đó ta điền như sau

a) Chu kì của hàm số là T = kπ. Giá trị của k là: 2 .

b) Giá trị của |b| là 1.

a) Giả sử mật khẩu của máy tính gồm 3 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số.

Chọn ký tự đầu tiên: Có 10 cách chọn.

Chọn ký tự thứ hai: Có 10 cách chọn.

Chọn ký tự thứ ba: Có 10 cách chọn.

Vậy có thể tạo được 10.10.10=1000 mật khẩu khác nhau thỏa mãn bài toán.

b) Giả sử mật khẩu mới của máy tính gồm 3 ký tự , ký tự đầu là một chữ cái in hoa, 2 ký tự sau là một chữ số.

Chọn ký tự đầu tiên là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z): Có 26 cách chọn.

Chọn ký tự thứ hai là các chữ số (từ 0 đến 9): Có 10 cách chọn.

Chọn ký tự thứ ba là các chữ số (từ 0 đến 9): Có 10 cách chọn.

Vậy có thể tạo được 26.10.10 = 2600 mật khẩu khác nhau thỏa mãn bài toán.

Do đó quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ số mật khẩu khác nhau là:

                                              2600 − 1000 = 1600 (mật khẩu).

Do đó ta điền đáp án như sau

a) Nếu mỗi kí tự là một chữ số. Có thể tạo được số mật khẩu khác nhau là: 1000.
b) Theo quy định mới, nếu mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Theo quy định mới, số mật khẩu tạo được nhiều hơn theo quy định cũ là 1600.

a) Số các số hạng trong khai triển là n + 1.

b) Với n = 4 thì \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + 3} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {.3^k}.{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)^{4 - k}}\) .

\( = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {.3^k}{.2^{\frac{{k - 4}}{2}}}\)

Số hạng hữu tỉ khi và chỉ khi \(\frac{{k - 4}}{2} \in \mathbb{Z}\) mà \( - 4 \le k - 4 \le 0\)

\( \Rightarrow k - 4 \in \{ 0; - 2; - 4\} \Leftrightarrow k \in \{ 0;2;4\} \)

Vậy có 3 số hạng hữu tỉ.

c) Số nguyên duy nhất trong khai triển nhị thức là 3ⁿ và đây là một số lẻ.

d) Ta có \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + 3} \right)^n} = {\left( {3 + {2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {.3^k}.{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)^{n - k}}\)

Bài ra thì \(\frac{{C_n^4{{.3}^4}.{{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)}^{n - 4}}}}{{C_n^3{{.3}^3}.{{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)}^{n - 3}}}} = 3\sqrt 2 \Rightarrow \frac{{\frac{{3.n!}}{{(n - 4)!.4!}}}}{{\frac{{n!}}{{(n - 3)!.3!}}}}.{\left( {{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)^{ - 1}} = 3\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \frac{{3(n - 3)}}{4}.\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \Rightarrow n = 7\) .

Do đó ta có đáp án như sau

   þ Số các số hạng trong khai triển là n + 1.

   þ Số nguyên lẻ trong khai triển là 3ⁿ.

\(\begin{array}{l}{S_{10}} = 2 + 4 + 6 + \ldots + 2.10 = 110\\{S_n} = 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

\({S_n} = \frac{{n(2 + 2n)}}{2} = n(n + 1)\).

\(\begin{array}{l}{u_1} = {S_1} = 2\\{S_2} = 2 + 4 = 6\end{array}\)

\({S_2} = {u_1} + {u_2} \Rightarrow {u_2} = 4 \Rightarrow d = 2\).

Số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {u_1} + (n - 1).d = 2 + (n - 1).2 = 2n\).

Do đó ta có đáp án như sau

\(y = \;|x|\; = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{ - x{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} |x|\; = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt x \) không tồn tại.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{|x|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{|x|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{x} = - 1\)

Þ Không tồn tại giới hạn.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [x] = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} [x] = - 1\)

Þ Không tồn tại giới hạn.

Do đó ta chọn đáp án sau

    þ\(y = \frac{{|x|}}{x}\).

    þ\(y = \sqrt x \).

    þ\(y = [x]\).