Đề tham khảo Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2026 có đáp án (Đề 18)

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng.

Phương pháp giải.

Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân.

Lời giải chi tiết.

Ta có. \(\int_1^8 f (x)dx = \int_1^4 f (x)dx + \int_4^8 f (x)dx \Rightarrow - 2 = 3 + \int_4^8 f (x)dx \Rightarrow \int_4^8 f (x)dx = - 5\).

Xét phát biểu A:  \(\int_4^8 f (x)dx + \int_1^4 g (x)dx = - 5 + 7 = 2 \ne 8 \Rightarrow \) Sai.

Xét phát biểu B: \(\int_4^8 f (x)dx = - 2 - 3 = - 5 \Rightarrow \) Đúng.

Xét phát biểu C: \(\mathop \smallint \limits_1^4 \left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = - 2\) Đúng.

Đáp án: \((3; - 2;6)\)

Phương pháp giải.

Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn để xác định vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là. \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 3x - 2y + 6z - 6 = 0\).

Vậy mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3; - 2;6)\).

Đáp án: Thể tích của (T) bằng \(85,75\pi \); Diện tích xung quanh của (T) bằng \(49\pi \)

Phương pháp giải.

Diện tích xung quanh của hình trụ bằng \(S = 2\pi rh\).

Thể tích của khối trụ là \(V = \pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết.

Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Theo giả thiết ta có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 7 nên \(h = 2r = 7\), do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h = 7}\\{r = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ bằng \(S = 2\pi rh = 2\pi \times \frac{7}{2} \times 7 = 49\pi \).

Thể tích của khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} \times 7 = 85,75\pi \).

Đáp án đúng là B, C, D

Phương pháp giải.

Xác định trung bình cộng hai số nguyên tố kề với số đã cho và so sánh.

Lời giải chi tiết.

Hai số nguyên tố kề 31 là 29 và 37, khi đó \(\frac{{29 + 37}}{2} = 33 > 31\) suy ra 31 không là số nguyên tố mạnh.

Hai số nguyên tố kề 29 là 23 và 31, khi đó \(\frac{{23 + 31}}{2} = 27 < 29\) suy ra 29 là số nguyên tố mạnh.

Hai số nguyên tố kề 37 là 31 và 41, khi đó \(\frac{{31 + 41}}{2} = 36 < 37\) suy ra 37 là số nguyên tố mạnh.

Hai số nguyên tố kề 41 là 37 và 43, khi đó \(\frac{{37 + 43}}{2} = 40 < 41\) suy ra 41 là số nguyên tố mạnh.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai

Phương pháp giải.

Sử dụng tính chất hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

Tính thể tích và sử dụng công thức khoảng cách \(d(A,(SBC)) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}}\).

Lời giải chi tiết.

Theo giả thiết ta có $\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}={30}^{°}\Rightarrow \Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH\Rightarrow HA=HB=HC$

Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (Phát biểu a Sai).

Nửa chu vi tam giác ABC là \(p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10 \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \sqrt {10(10 - 5)(10 - 8)(10 - 7)} = 10\sqrt 3 \).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(HA = R = \frac{{AB \times BC \times AC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{5 \times 8 \times 7}}{{4 \times 10\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).

Chiều cao hình chóp $SH=AH\times \tan {30}^{°}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7}{3}$. (Phát biểu b Đúng).

Thể tích \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH \times {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{3} \times 10\sqrt 3 = \frac{{70\sqrt 3 }}{9}\).

Ta có các cạnh bên  $SB=SC=\frac{HB}{\cos {30}^{°}}=\frac{14}{3}$

Nửa chu vi tam giác SBC là \(p' = \frac{{14/3 + 14/3 + 8}}{2} = \frac{{26}}{3}\).

\({S_{\Delta SBC}} = \sqrt {p'(p' - SB)(p' - SC)(p' - BC)} = \frac{{8\sqrt {13} }}{3}\).

Khoảng cách từ A đến (SBC) là \(d(A,(SBC)) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{{3 \times \frac{{70\sqrt 3 }}{9}}}{{\frac{{8\sqrt {13} }}{3}}} = \frac{{35\sqrt {39} }}{{52}}\). (Phát biểu c Sai).

Đáp án: 10,67

Phương pháp giải.

Tính bán kính đường tròn giao tuyến, từ đó tính bán kính mặt cầu và thể tích mặt cầu.

Lời giải chi tiết.

Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là. \(r' = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{{2\sqrt 3 \pi a}}{{2\pi }} = a\sqrt 3 \).

Suy ra bán kính mặt cầu (S) là. \(r = \sqrt {{{(r')}^2} + {h^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {a^2}} = 2a\).

Thể tích khối cầu (S) là. \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {(2a)^3} = \frac{{32}}{3}\pi {a^3} \approx 10,67\pi {a^3}\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai

Phương pháp giải.

Xác định bán kính R từ phương trình mặt cầu, sau đó tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Lời giải chi tiết.

Ta có mặt cầu có bán kính là \(R = \sqrt {16} = 4\).

Khi đó, diện tích mặt cầu là \(4\pi {R^2} = 4\pi \times {4^2} = 64\pi \Rightarrow \) Phát biểu a Sai.

Thể tích khối cầu là \(\frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \times {4^3} = \frac{{256}}{3}\pi \Rightarrow \) Phát biểu b Sai.

Đáp án: 6

Phương pháp giải.

Giải bất phương trình bằng cách xét điều kiện và dấu của các nhân tử.

Lời giải chi tiết.

Ta có tập xác định là \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\).

Ta có \(\sqrt {x - 1} \ge 0\), do đó để bất phương trình thỏa mãn thì \(x - 6 \le 0 \Leftrightarrow x \le 6\).

Kết hợp điều kiện ta có \(1 \le x \le 6\).

Vì x nguyên nên \(x \in \{ 1;2;3;4;5;6\} \).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình có 6 phần tử nguyên.