Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\), \(B\left( {4;5} \right)\), \(C\left( {0; - 7} \right)\). Điểm \(M\) di chuyển trên trục \(Ox\). Đặt \(T = 3\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| { + 2} \right|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\).

Đáp án:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T\) là \(8.\)

khi đó hoành độ của điểm \(M\) là \(2.\)

Phương pháp giải:

Từ quy tắc hình bình hành ta rút ra:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) khi đó ta có: \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \)

Gọi \(J\) là trung điểm của \(AB\) khi đó ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MJ} \)

Giải chi tiết:

Điểm \(M\) di chuyển trên trục \(Ox\) nên tọa độ của điểm \(M\) có dạng \(M\left( {x,0} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) khi đó ta có: \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \)

Tọa độ đỉnh \(I\) là: \(\left( {\frac{{4 + 0}}{2};\frac{{5 + \left( { - 7} \right)}}{2}} \right) = \left( {2; - 1} \right)\)

        \(\overrightarrow {MI} = \left( {2 - x; - 1} \right)\)

Gọi \(J\) là trung điểm của \(AB\) khi đó ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MJ} \)

Tọa độ đỉnh \(J\) là: \(\left( {\frac{{0 + 4}}{2};\frac{{ - 4 + 5}}{2}} \right) = \left( {2;\frac{1}{2}} \right)\)

          \(\overrightarrow {MJ} = \left( {2 - x;\frac{1}{2}} \right)\)

    \(\begin{array}{*{20}{c}}{T = 3\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| { + 2} \right|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|}\\{ = 3\left| {2\overrightarrow {MI} \left| { + 2} \right|2\overrightarrow {MJ} } \right|}\\{ = 6.\sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} + 4\sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }\\{ \ge 6.\sqrt {0 + 1} + 4\sqrt {0 + \frac{1}{4}} = 8}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi: \({\left( {2 - x} \right)^2} = 0 = > x = 2\);