Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 29

Tập xác định của hàm số \[y = {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)^{\sqrt 3 }}\] là

Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh ngồi vào một dãy gồm 6 chiếc ghế sao cho mỗi chiếc ghế có nhiều nhất một học sinh ngồi?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Các số thực dương \(x,\,y \ne 1\) thỏa mãn \({\log _2}x = {\log _y}16\) và \(xy = 64\). Giá trị của biểu thức \({\left( {{{\log }_2}\frac{x}{y}} \right)^2}\) bằng ___.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hình thang \[ABCD\] vuông tại \[A\] và \[B\] có \[AB = 2\], \[AD = 8\] và \[BC = x\] với \[0 < x < 8\]. Gọi \[{V_1}\], \[{V_2}\] lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang \[ABCD\] (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng \[BC\] và \[AD\]. Để \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{2}\) thì \(x\) bằng __.

Trong một phép thử với \(A,\,\,B\) là hai biến cố bất kì, biết rằng \(P\left( A \right) = 0,5\); \(P\left( {AB} \right) = 0,3\). Khi đó \(P\left( {B\left| A \right.} \right)\) bằng

Cho hàm số \(y = {e^x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị \(\left( C \right)\), tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {1\,;\,\,e} \right)\) và đường thẳng \(y = - \frac{1}{e}x\) được tô đậm như hình vẽ.

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một cái ly nước hình hình trụ có chiều cao 9 cm. Lượng nước trong ly chiếm \(\frac{2}{3}\) thể tích ly nước. Hoa đặt một viên kim cương hình lập phương vào miệng ly nước thì thấy một đỉnh của viên kim cương chạm vào mặt nước, đồng thời mô hình ly nước và kim cương cùng lấy trục ly nước làm trục đối xứng. Nếu ban đầu Hoa đổ nước đầy ly thì sau khi đặt khối lập phương như trên, lượng nước tràn ra là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{b}\] cm³ (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(a + b\) bằng ___.

Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 12\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Ox{\rm{z}}} \right)\) có phương trình là:

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Jack có một chiếc điện thoại thông minh đã được sạc đầy pin. Nếu Jack không sử dụng điện thoại một phút nào thì máy sẽ hết pin sau 96 tiếng; còn nếu anh ấy sử dụng điện thoại liên tục thì máy sẽ hết pin sau 8 tiếng. Biết Jack đã không sử dụng chiếc smartphone trong suốt 36 tiếng, sau đó lại dùng nó 90 phút liên tục. Jack còn dùng điện thoại được ___ phút nữa trước khi máy hết pin.

Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {9 - {x^2}} \right) < 0\) chứa bao nhiêu số nguyên?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\), gọi \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}},{\rm{Oz}}\). Mỗi phát biểu sau đây đúng hay sai?

Cho số nguyên \(m > 0\). Nếu \(\left( {a - b} \right) \vdots m\) thì ta nói \(a\) đồng dư với \(b\) theo môđun \(m\) và ký hiệu \(a \equiv b\left( {{\rm{mod\;}}m} \right)\). Chẳng hạn \(7 \equiv 3\left( {{\rm{mod\;}}2} \right)\) vì \(7 - 3 = 4 \vdots 2\). Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt, thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Kết thúc giải đấu, tổng cộng số điểm của tất cả 10 đội là 130. Có __ trận hòa.

Khảo sát một nhà máy dệt may, người ta thấy có \(80{\rm{\% }}\) công nhân thuận tay phải và \(25{\rm{\% }}\) công nhân có độ tuổi trên 35 . Giả sử độ tuổi không ảnh hưởng đến đặc điểm thuận tay nào. Gặp ngẫu nhiên một công nhân trong nhà máy. Tính xác suất của biến cố công nhân đó thuận tay phải hoặc có độ tuổi trên 35 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho biết chu kỳ bán rã của chất phóng xạ Plutoni Pu239 là 24360 năm. Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A \cdot {e^{rt}}\). Trong đó A là số lượng chất phóng xạ ban đầu, \(r\) là tỷ lệ phân hủy hằng năm ( \({\rm{r}} < 0\) ), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy \(t\). Hỏi 10 gam Pu239 sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2; - 2;1} \right)\) trọng tâm \(G,M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Biết điểm \(G\) thuộc đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\) và điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{x}} + 2y - 3z - 1 = 0\). Đường thẳng \(AM\) có một vectơ chỉ phương là:

Biết hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + a}}{{x + 1}}\) ( \(a\) là số thực cho trước và \(a \ne 1\) ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Mỗi phát biểu sau đây đúng hay sai?

Trong Vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A{\rm{cos}}\left( {\omega t + \varphi } \right)\), trong đó \(t\) là thời điểm (tính bằng giây), \(x\left( t \right)\) là li độ của vật tại thời điểm \(t,A\) là biên độ dao động \((A > 0),\omega t + \varphi \) là pha của dao động tại thời điểm \(t\) và \(\varphi \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hoà này có chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần). Giả sử một vật dao động điều hoà theo phương trình \(x\left( t \right) = - 5{\rm{cos}}4\pi t\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\). Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?