Khảo sát một nhà máy dệt may, người ta thấy có \(80{\rm{\% }}\) công nhân thuận tay phải và \(25{\rm{\% }}\) công nhân có độ tuổi trên 35 . Giả sử độ tuổi không ảnh hưởng đến đặc điểm thuận tay nào. Gặp ngẫu nhiên một công nhân trong nhà máy. Tính xác suất của biến cố công nhân đó thuận tay phải hoặc có độ tuổi trên 35 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: \(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\).

Ta đặt: \(\overrightarrow {BA} = \vec a,\overrightarrow {BC} = \vec b,\overrightarrow {BB'} = \vec c\).

Khi đó, theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {BD'} = \vec a + \vec b + \vec c\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} \).

Từ \(\overrightarrow {DN} = y\overrightarrow {DC'} \), ta có \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BD} = y\left( {\overrightarrow {BC'} - \overrightarrow {BD} } \right)\), suy ra:

\(\overrightarrow {BN} - \left( {\vec a + \vec b} \right) = y\left( {\vec b + \vec c - \vec a - \vec b} \right)\).

\(\overrightarrow {BN} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c\).

Từ \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AC} \), suy ra \(\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} = x\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {BM} - \vec a = x\left( {\vec b - \vec a} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \left( {1 - x} \right)\vec a + x\vec b\).

Do đó: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c - \left( {1 - x} \right)\vec a - x\vec b\) \( = \left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c.\)

Điều kiện để \(MN//BD'\) là \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {BD'} \) hay \(\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\left( {\vec a + \vec b + \vec c} \right)\)

\( \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\vec a + k\vec b + k\vec c\left( * \right)}\end{array}\)

Do \(\vec a,\vec b,\vec c\) không cùng phương nên từ (*) suy ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = x - y}\\{k = 1 - x}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 0}\\{x + y = 1}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left( {x;y;k} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)} \right.} \right.\).

Đáp án: 5.

Điều kiện: \(9 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 3\).

Ta có: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {9 - {x^2}} \right) < 0 \Leftrightarrow 9 - {x^2} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow 9 - {x^2} > 1 \Leftrightarrow {x^2} < 8 \Leftrightarrow - 2\sqrt 2 < x < 2\sqrt 2 \).

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình chứa 5 số nguyên là: \( - 2\,;\,1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\).