Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2; - 2;1} \right)\) trọng tâm \(G,M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Biết điểm \(G\) thuộc đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\) và điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{x}} + 2y - 3z - 1 = 0\). Đường thẳng \(AM\) có một vectơ chỉ phương là:

Đáp án: \(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\).

Ta đặt: \(\overrightarrow {BA} = \vec a,\overrightarrow {BC} = \vec b,\overrightarrow {BB'} = \vec c\).

Khi đó, theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {BD'} = \vec a + \vec b + \vec c\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} \).

Từ \(\overrightarrow {DN} = y\overrightarrow {DC'} \), ta có \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BD} = y\left( {\overrightarrow {BC'} - \overrightarrow {BD} } \right)\), suy ra:

\(\overrightarrow {BN} - \left( {\vec a + \vec b} \right) = y\left( {\vec b + \vec c - \vec a - \vec b} \right)\).

\(\overrightarrow {BN} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c\).

Từ \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AC} \), suy ra \(\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} = x\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {BM} - \vec a = x\left( {\vec b - \vec a} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \left( {1 - x} \right)\vec a + x\vec b\).

Do đó: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c - \left( {1 - x} \right)\vec a - x\vec b\) \( = \left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c.\)

Điều kiện để \(MN//BD'\) là \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {BD'} \) hay \(\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\left( {\vec a + \vec b + \vec c} \right)\)

\( \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\vec a + k\vec b + k\vec c\left( * \right)}\end{array}\)

Do \(\vec a,\vec b,\vec c\) không cùng phương nên từ (*) suy ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = x - y}\\{k = 1 - x}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 0}\\{x + y = 1}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left( {x;y;k} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)} \right.} \right.\).

Đáp án: 55.

Ta có \[{S_{\Delta DMN}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta SMD}} = \frac{1}{6}{S_{\Delta SCD}}\].

Gọi \(E\) là trung điểm của AB.

Có \[d\left( {G,\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {E,\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right).\]

\[ \Rightarrow {V_{G.MND}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta DMN}} \cdot d\left( {G,\left( {DMN} \right)} \right)\]\( = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}{S_{\Delta SCD}} \cdot \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\)\( = \frac{1}{{27}} \cdot {V_{S.ACD}} = \frac{1}{{27}} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)

\( = \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}\)\( \Rightarrow \frac{{{V_{G.MND}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{{54}}\).

Suy ra \(m + n = 55\).