Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 24

Đáp án: \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 2;3} \right)\) nên thay tọa độ điểm \(\left( { - 2;3} \right)\) vào hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) ta thấy thỏa mãn.

Đáp án: Sai – Sai – Đúng – Sai.

Gọi \(A\) là biến cố “Nhân viên được chọn là nữ” và \(B\) là biến cố “Nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ”.

Theo đề ta có \({\rm{P}}(A) = 0,45\); \({\rm{P}}(B\mid A) = 0,07\); \({\rm{P}}\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,05\); \({\rm{P}}\left( {\bar A} \right) = 0,55\).

Vậy xác suất nhân viên được chọn là nam là \(0,55\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có

\({\rm{P}}\left( B \right)  = {\rm{P}}\left( A \right) \cdot {\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) + {\rm{P}}\left( {\bar A} \right) \cdot {\rm{P}}\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,45 \cdot 0,07 + 0,55 \cdot 0,05 = 0,059\) nên phát biểu thứ hai sai.

Vậy xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là \(0,059\).

Ta có \({\rm{P}}\left( {A\mid B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( A \right) \cdot {\rm{P}}\left( {B\mid A} \right)}}{{{\rm{P}}\left( B \right)}} = \frac{{0,45 \cdot 0,07}}{{0,059}} = \frac{{63}}{{118}}\) nên phát biểu thứ ba đúng.

Vậy xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là nữ là \(\frac{{63}}{{118}}\).

Ta có \({\rm{P}}\left( {\bar A\mid B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {\bar A} \right) \cdot {\rm{P}}\left( {B\mid \bar A} \right)}}{{{\rm{P}}\left( B \right)}} = \frac{{0,55 \cdot 0,05}}{{0,059}} = \frac{{55}}{{118}}\).

Vậy xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ là nam thấp hơn nữ nên phát biểu thứ tư sai.

Đáp án: Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\].

Tập xác định \[D = \mathbb{R}\].

Ta có \[y' = \left( {2x - 2} \right) \cdot {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{{x^2} - 2x + 3}} \cdot \ln \left( {\frac{3}{5}} \right)\]\[ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\].

Bảng xét dấu:

Do đó hàm số \[y = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{{x^2} - 2x + 3}}\] đồng biến trên \[\left( { - \infty ;1} \right)\].

Đáp án: 14.

Do \(\Delta ABC\) vuông và có \(AB = BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BB'\), ta có: \(B'C{\rm{//}}\left( {AMN} \right)\).

Khi đó: \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Kẻ \(BH \bot AM\) tại \(H\) và kẻ \(BK \bot NH\) tại \(K\).

Ta có: \(BH \bot AM,BN \bot AM \Rightarrow AM \bot \left( {NBH} \right) \Rightarrow BK \bot AM\).

Do \(BK \bot NH\), \(BK \bot AM\) nên \(BK \bot \left( {AMN} \right)\).

Suy ra: \(d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK\).

Mặt khác: \(BH = \frac{{BM \cdot BA}}{{\sqrt {B{M^2} + B{A^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 a}}{5}\); \(BK = \frac{{BH \cdot BN}}{{\sqrt {B{H^2} + B{N^2}} }} = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\).

Vậy \[d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\].

Vậy \(m = n = 7\). Tổng \(m + n = 14\).

Đáp án: 8012.

Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:

+) \(P\left( 0 \right) = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 0}}}} = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a}} = 800\)

+) \(P\left( 3 \right) = 6000 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)

+ ) Sức chứa của hồ là 8000 con \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = 8000\)

Khi \(t \to + \infty \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to + \infty (L)}\\{b > 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to 0(tm)}\end{array} \Rightarrow P(t) \to c} \right.\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = c = 8000\). Mà \(\frac{c}{{1 + a}} = 800 \Leftrightarrow \frac{{8000}}{{1 + a}} = 800 \Rightarrow a = 9\)

Thay vào \(c = 8000\) và \(a = 9\) phương trình \(\frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\) ta được \(\frac{{8000}}{{1 + 9 \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)

\( \Leftrightarrow 1 + 9 \cdot {b^{ - 3}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow {b^{ - 3}} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow b = 3\).

Suy ra \(P(t) = \frac{{8000}}{{1 + 9 \cdot {3^{ - t}}}}\). Do đó \(a + b + c = 8012\).

Đáp án: Đúng – Sai.

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\). Khi đó \(\frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot f'\left( 0 \right) - f\left( 0 \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot 4 - \sqrt 3 = 0\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Ta có:\(\frac{1}{{f'\left( x \right)}} = {\cos ^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) \Rightarrow M = 1 \notin \left( {0;1} \right)\) nên phát biểu thứ hai sai.

Đáp án: \(\frac{2}{3};\frac{{26}}{3}\).

Quãng đường vật đi được có phương trình: \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)dt} = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + t + C\).

Vì \(s(0) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow s(t) = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + t\)

Quãng đường vật đi được sau 2 giây là: \(s\left( 2 \right) = \frac{2}{3}\left( m \right)\).

Thời gian vật đạt vận tốc \(9\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) là: \[v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1 = 9 \Leftrightarrow t = 4\].

Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\)giây đến thời gian mà vận tốc đạt \(9\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) là:

\(s = \int\limits_2^4 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_2^4 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)dt} = \frac{{26}}{3}\left( m \right)\).

Đáp án: \({\Delta _Q} = \frac{{875}}{{232}}\).

Cỡ mẫu \(n = 130\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{33}} \in \left[ {7;9} \right)\).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{130}}{4} - \left( {11 + 20} \right)}}{{29}} \cdot \left( {9 - 7} \right) = \frac{{206}}{{29}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{98}} \in \left[ {9;11} \right)\).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{130 \cdot 3}}{4} - \left( {11 + 20 + 29} \right)}}{{40}} \cdot \left( {11 - 9} \right) = \frac{{87}}{8}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{87}}{8} - \frac{{206}}{{29}} = \frac{{875}}{{232}}\).