Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 28

Đáp án: Sai – Sai – Đúng – Đúng.

\(\overrightarrow {CB} = \left( {1;1;3} \right)\) Suy ra: \(3\overrightarrow {CB} = \left( {3;3;9} \right)\)

\(\overrightarrow {AM} = \left( {a + 1;b;c - 3} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \), ta có hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + 1 = 3}\\{b = 3}\\{c - 3 = 9}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 3}\\{c = 12}\end{array}} \right.\). Do đó, \(M(2;3;12)\).A

Do đó \(a + b + c = 2 + 3 + 12 = 17\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Vì \(N \in Ox\) nên tọa độ của \(N\) có dạng \(N(a;0;0)\).

\(\overrightarrow {BN} = \left( {a - 4; - 2;0} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;1; - 6} \right)\).

Vì \(BN \bot AC\) nên \(\overrightarrow {BN} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 4} \right) \cdot 4 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 0 \cdot \left( { - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4a - 16 - 2 = 0 \Leftrightarrow 4a = 18 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}\).

Khi đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 4 \cdot {\left( {\frac{9}{2}} \right)^2} + {0^2} + {0^2} = 4 \cdot \frac{{81}}{4} = 81\) nên phát biểu thứ hai sai.

Với \(D\left( { - 2; - 1;0} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;2; - 3} \right)\); \(\overrightarrow {DC} = \left( {5;2; - 3} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên phát biểu thứ ba đúng.

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm \(G({x_G};{y_G};{z_G})\) của tam giác ABC

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 4 + 3}}{3} = \frac{6}{3} = 2\);

\({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{0 + 2 + 1}}{3} = \frac{3}{3} = 1\);

\({z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{3 + 0 + \left( { - 3} \right)}}{3} = \frac{0}{3} = 0\).

Suy ra \(G\left( {2;1;0} \right)\)nên phát biểu thứ tư đúng.

Đáp án: \(\frac{{ - 11}}{6}\).

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {{\rm{sin}}x - 3f\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = 6 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\sin xdx} - 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( x \right)dx} = 6 \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f(x)dx} = \frac{{\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\sin xdx} - 6}}{3} = \frac{{ - 11}}{6}\) .

Đáp án: Sai – Đúng – Đúng – Sai.

\(y' = \frac{1}{2} - 2\sin x\cos x = 0 \Rightarrow \sin 2x = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\{2x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi }\end{array}} \right.\) .

Có \(0 < x < \pi \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{{12}}}\\{0 < \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi < \pi \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}}}\end{array}} \right.\) .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{{5\pi }}{{12}};\pi } \right)\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có 2 điểm cực trị nên phát biểu thứ hai đúng.

Dựa vào bảng biến thiên \( \Rightarrow {y_{CT}} = y\left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right) = \frac{{5\pi }}{{24}} - {\sin ^2}\left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right) = \frac{{5\pi }}{{24}} - \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\) nên phát biểu thứ ba đúng.

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {{\sin }^2}2x}}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} - \sin 2x = - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2} \Rightarrow \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2} - \sin 2x + \frac{1}{2} = 0\)

\( \Rightarrow \sin 2x = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

Có \(0 < x < \pi \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{4} + k\pi < \pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow \) Có 1 nghiệm trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) nên phát biểu thứ tư sai.

Đáp án: 1.

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)

Dựa vào đồ thị ta thấy \(a < 0\).

Hàm số có 2 cực trị âm nên \(\left\{ \begin{array}{l}{{\Delta '}_{y'}} > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 3ac > 0\\ - \frac{{2b}}{{3a}} < 0\\\frac{c}{{3a}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 0\\c < 0\end{array} \right.\)

Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;d} \right)\) nên \(d > 0\).

Vậy có đúng 1 số dương trong các số \(a,\;b,\;c,\;d\).

Đáp án: 280.

Gọi \[f\left( x \right)\] là hàm biểu thị tổng lợi nhuận của doanh nghiệp khi bán hết \(x\) sản phẩm

\[g\left( t \right)\] là hàm biểu thị tổng mức thuế nhà nước phụ thu ứng với \(x\) sản phẩm mà doanh nghiệp bán hết

Khi đó \(f\left( x \right) = F\left( x \right) - G\left( x \right) - xt\) với \(x \in \left( {0;2000} \right)\)

\( = 2000x - {x^2} - {x^2} - 1440x - 50 - xt\)

\(\; = - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50\).

\(f'\left( x \right) = - 4x + 560 - t \Rightarrow x = \frac{{560 - t}}{4} \in \left( {0;2000} \right)\)

Bảng biến thiên

\( \Rightarrow \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left( {0;2000} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{560 - t}}{4}} \right) \Rightarrow g\left( t \right) = xt = \frac{{560 - t}}{4} \cdot t\) với \(t \in \left( {0;300} \right)\)

\( \Rightarrow g\left( t \right) = - \frac{1}{4}{t^2} + 140t\)

Bảng biến thiên

Vậy \(g\left( t \right)\) max khi \(t = 280\)(chục nghìn đồng).

Đáp án: Đúng – Sai – Sai.

Tổng diện tích mặt trước và mặt sau của lều là \[S = 2 \cdot \frac{1}{2}x\sqrt {16 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{1}{2}x\sqrt {64 - {x^2}} \] nên phát biểu thứ nhất đúng.

Ta có \[V = Bh = \frac{1}{4}x\sqrt {64 - {x^2}} \cdot 6 = \frac{3}{2}x\sqrt {64 - {x^2}} \] nên phát biểu thứ hai sai.

Ta có \[x\sqrt {64 - {x^2}} \le \,\frac{{{x^2} + 64 - {x^2}}}{2} = 32\].

Từ đó suy ra \[V = \frac{{3x}}{2}\sqrt {64 - {x^2}} \le 48\] xảy ra khi \[x = \sqrt {64 - {x^2}} \Rightarrow \,x = 4\sqrt 2 \].

Khoảng không gian phía trong của chiếc lều lớn nhất bằng \[48\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\] khi \[x = 4\sqrt 2 \] nên phát biểu thứ ba sai.

Đáp án: 937.

Gọi A là biến cố “qua được lần kiểm tra đầu tiên” \[ \Rightarrow P\left( A \right) = 0,95\].

Gọi B là biến cố “qua được lần kiểm tra thứ 2” \[ \Rightarrow P\left( {B|A} \right) = 0,92\].

Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu phải thỏa mãn 2 điều kiện A và B hay ta đi tính \[P\left( {A \cap B} \right)\]

Ta có \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( A \right) = 0,95 \cdot 0,92 = \frac{{437}}{{500}}.\]

Suy ra \[a + b = 937.\]

Đáp án: \(S = \int\limits_{ - 3}^0 {f(x)dx} + \int\limits_4^0 {f(x)dx} \).

\(S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {f\left( x \right)dx} \right|} = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_0^4 {\left| {f(x)} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 3}^0 {f(x)dx} + \int\limits_4^0 {f(x)dx} \).