Trong không gian \[Oxyz\], cho \[\overrightarrow u = \left( {1;\, - 2;\,3} \right)\], \[\overrightarrow v = \left( {2;\,3;\, - 1} \right)\], \[\alpha \] là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \). Chọn mệnh đề đúng.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Tập giá trị của hàm số: \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\) có dạng \(\left[ {\frac{a}{b};1} \right]\) với \(a;b\) là các số nguyên, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị \(S = a + a{b^2}\) bằng ___.

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Biết \(A,B\) là hai số tự nhiên liên tiếp thỏa mãn \(A < \frac{{{2^{2021}}}}{{{3^{1273}}}} < B\). Khi đó \(A\) bằng ___ và \(B\) bằng ___.

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 mét xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Tổng các quãng đường khi rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy lên nữa là

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc \(15\) m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc \( - a\) m/s\(^2\). Biết rằng ô tô chạy được thêm \(20\)m thì dừng hẳn. Giá trị của \(a\)thuộc khoảng nào dưới đây?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {1; - 3; - 5} \right)\), \(C\left( {3; - 4; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 5 = 0\). Xét các đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\) và tạo với đường thẳng \(BC\) một góc \(45^\circ \). Gọi \(M\) là giao điểm của \(\Delta \) với \((P)\). Khi \(BM\) lớn nhất, \(\Delta \) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;a;b} \right)\). Giá trị của \({a^2} + {b^2}\) bằng __.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh \(40{\rm{cm\;}}\). Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa, chi phí phủ một lớp men trang trí bốn cánh hoa là 600000đồng/\(1{{\rm{m}}^2}\) (hình vẽ minh họa). Chi phí để tráng men trang trí bốn cánh hoa của một viên gạch là ___ nghìn đồng.