Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Jack có một chiếc điện thoại thông minh đã được sạc đầy pin. Nếu Jack không sử dụng điện thoại một phút nào thì máy sẽ hết pin sau 96 tiếng; còn nếu anh ấy sử dụng điện thoại liên tục thì máy sẽ hết pin sau 8 tiếng. Biết Jack đã không sử dụng chiếc smartphone trong suốt 36 tiếng, sau đó lại dùng nó 90 phút liên tục. Jack còn dùng điện thoại được ___ phút nữa trước khi máy hết pin.

Đáp án: \(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\).

Ta đặt: \(\overrightarrow {BA} = \vec a,\overrightarrow {BC} = \vec b,\overrightarrow {BB'} = \vec c\).

Khi đó, theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {BD'} = \vec a + \vec b + \vec c\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} \).

Từ \(\overrightarrow {DN} = y\overrightarrow {DC'} \), ta có \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BD} = y\left( {\overrightarrow {BC'} - \overrightarrow {BD} } \right)\), suy ra:

\(\overrightarrow {BN} - \left( {\vec a + \vec b} \right) = y\left( {\vec b + \vec c - \vec a - \vec b} \right)\).

\(\overrightarrow {BN} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c\).

Từ \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AC} \), suy ra \(\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} = x\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {BM} - \vec a = x\left( {\vec b - \vec a} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \left( {1 - x} \right)\vec a + x\vec b\).

Do đó: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c - \left( {1 - x} \right)\vec a - x\vec b\) \( = \left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c.\)

Điều kiện để \(MN//BD'\) là \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {BD'} \) hay \(\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\left( {\vec a + \vec b + \vec c} \right)\)

\( \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\vec a + k\vec b + k\vec c\left( * \right)}\end{array}\)

Do \(\vec a,\vec b,\vec c\) không cùng phương nên từ (*) suy ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = x - y}\\{k = 1 - x}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 0}\\{x + y = 1}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left( {x;y;k} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)} \right.} \right.\).

Đáp án: 55.

Ta có \[{S_{\Delta DMN}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta SMD}} = \frac{1}{6}{S_{\Delta SCD}}\].

Gọi \(E\) là trung điểm của AB.

Có \[d\left( {G,\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {E,\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right).\]

\[ \Rightarrow {V_{G.MND}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta DMN}} \cdot d\left( {G,\left( {DMN} \right)} \right)\]\( = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}{S_{\Delta SCD}} \cdot \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\)\( = \frac{1}{{27}} \cdot {V_{S.ACD}} = \frac{1}{{27}} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)

\( = \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}\)\( \Rightarrow \frac{{{V_{G.MND}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{{54}}\).

Suy ra \(m + n = 55\).