Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một cái ly nước hình hình trụ có chiều cao 9 cm. Lượng nước trong ly chiếm \(\frac{2}{3}\) thể tích ly nước. Hoa đặt một viên kim cương hình lập phương vào miệng ly nước thì thấy một đỉnh của viên kim cương chạm vào mặt nước, đồng thời mô hình ly nước và kim cương cùng lấy trục ly nước làm trục đối xứng. Nếu ban đầu Hoa đổ nước đầy ly thì sau khi đặt khối lập phương như trên, lượng nước tràn ra là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{b}\] cm³ (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(a + b\) bằng ___.

Đáp án: \(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\).

Ta đặt: \(\overrightarrow {BA} = \vec a,\overrightarrow {BC} = \vec b,\overrightarrow {BB'} = \vec c\).

Khi đó, theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {BD'} = \vec a + \vec b + \vec c\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} \).

Từ \(\overrightarrow {DN} = y\overrightarrow {DC'} \), ta có \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BD} = y\left( {\overrightarrow {BC'} - \overrightarrow {BD} } \right)\), suy ra:

\(\overrightarrow {BN} - \left( {\vec a + \vec b} \right) = y\left( {\vec b + \vec c - \vec a - \vec b} \right)\).

\(\overrightarrow {BN} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c\).

Từ \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AC} \), suy ra \(\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} = x\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {BM} - \vec a = x\left( {\vec b - \vec a} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \left( {1 - x} \right)\vec a + x\vec b\).

Do đó: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c - \left( {1 - x} \right)\vec a - x\vec b\) \( = \left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c.\)

Điều kiện để \(MN//BD'\) là \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {BD'} \) hay \(\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\left( {\vec a + \vec b + \vec c} \right)\)

\( \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\vec a + k\vec b + k\vec c\left( * \right)}\end{array}\)

Do \(\vec a,\vec b,\vec c\) không cùng phương nên từ (*) suy ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = x - y}\\{k = 1 - x}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 0}\\{x + y = 1}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left( {x;y;k} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)} \right.} \right.\).

Đáp án: 55.

Ta có \[{S_{\Delta DMN}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta SMD}} = \frac{1}{6}{S_{\Delta SCD}}\].

Gọi \(E\) là trung điểm của AB.

Có \[d\left( {G,\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {E,\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right).\]

\[ \Rightarrow {V_{G.MND}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta DMN}} \cdot d\left( {G,\left( {DMN} \right)} \right)\]\( = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}{S_{\Delta SCD}} \cdot \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\)\( = \frac{1}{{27}} \cdot {V_{S.ACD}} = \frac{1}{{27}} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)

\( = \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}\)\( \Rightarrow \frac{{{V_{G.MND}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{{54}}\).

Suy ra \(m + n = 55\).