Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\] cho ba mặt phẳng: \(\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0\), \(\left( Q \right):x - 2y + z + 8 = 0\), \(\left( R \right):x - 2y + z - 4 = 0\). Một đường thẳng \[d\] thay đổi cắt ba mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\). Giá trị nhỏ nhất của \(T = A{B^2} + \frac{{144}}{{AC}}\) bằng ____.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: 108.
Dựa vào phương trình ba mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) đã cho, ta thấy chúng song song nhau; so sánh hệ số tự do trong phương trình ba mặt phẳng thì: \( - 4 < - 1 < 8\), do vậy mặt phẳng \(\left( P \right)\) nằm giữa hai mặt phẳng \(\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\).
Ta tính khoảng cách giữa \(\left( P \right)\) với hai mặt phẳng còn lại: \[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8 - \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt 6 }}\]; \(d\left( {\left( P \right),\left( R \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 - \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 6 }}.\)
Do vậy \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 3d\left( {\left( P \right),\left( R \right)} \right)\).
Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu của \(C\) trên các mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\)\( \Rightarrow CA' = \frac{3}{{\sqrt 6 }},\,\,A'B' = \frac{9}{{\sqrt 6 }}\). Vì \(AA'{\rm{//}}BB'\) nên \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CA'}}{{A'B'}} = \frac{{\frac{3}{{\sqrt 6 }}}}{{\frac{9}{{\sqrt 6 }}}} = \frac{1}{3}\) hay \(AC = \frac{1}{3}AB\).
Ta có:
\(T = A{B^2} + \frac{{144}}{{AC}} = A{B^2} + \frac{{144}}{{\frac{1}{3}AB}} = A{B^2} + \frac{{432}}{{AB}} = A{B^2} + \frac{{216}}{{AB}} + \frac{{216}}{{AB}}\mathop \ge \limits^{AM - GM} 3\sqrt[3]{{A{B^2} \cdot \frac{{216}}{{AB}} \cdot \frac{{216}}{{AB}}}} = 108\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(A{B^2} = \frac{{216}}{{AB}} \Leftrightarrow A{B^3} = 216 \Leftrightarrow AB = 6\), suy ra \(AC = 2\).
Vậy \({T_{\min }} = 108\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục \(Ox\)bằng 4 lần thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(ONBM\) quanh trục \(Ox\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: Sai – Sai.
Ta có khối tròn xoay đó được tạo thành khi quay hình phẳng \(QAMBN\)quanh trục \(Ox\). Mà \({S_{OQAM}} = {S_{ONBM}}\) nên thể tích của khối tròn xoay đó sẽ bằng 2 lần thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(ONBM\) quanh trục \(Ox\)nên phát biểu thứ nhất sai.
+) Viết phương trình đường thẳng\[MB\]: đi qua\[M\left( {0;1} \right)\], \[B\left( {2;2} \right)\]
Có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MB} = \left( {2;1} \right)\) suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;2} \right)\).
Suy ra \(MB: - 1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2y-2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1.\)
+) Tương tự, ta viết được phương trình đường thẳng \[NB\]là
\( - 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y-0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2x - 2.\) \[ \Rightarrow V = 2\left( {\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {2x - 2} \right)}^2}dx} } \right) = \frac{{20}}{3}\pi \] nên phát biểu thứ hai sai.
Câu 2
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{2}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: Sai – Sai.
\(y = \cos x + \sin x = \sqrt 2 \cdot \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Rightarrow \) Chu kì \(T = 2\pi \) nên phát biểu thứ nhất sai.
Hàm số \(y = \cos x + \sin x\) là hàm số không chẵn không lẻ nên phát biểu thứ hai sai.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\(12\).
\(24\).
\(28\).
\(48\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\({x^3} + \sin x\).
\({x^3} + \sin x + C\).
\({x^3} - \sin x + C\).
\({x^3} + \cos x + C\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập