Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\] cho ba mặt phẳng: \(\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0\), \(\left( Q \right):x - 2y + z + 8 = 0\), \(\left( R \right):x - 2y + z - 4 = 0\). Một đường thẳng \[d\] thay đổi cắt ba mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\). Giá trị nhỏ nhất của \(T = A{B^2} + \frac{{144}}{{AC}}\) bằng ________.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 108.
Dựa vào phương trình ba mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) đã cho, ta thấy chúng song song nhau; so sánh hệ số tự do trong phương trình ba mặt phẳng thì: \( - 4 < - 1 < 8\), do vậy mặt phẳng \(\left( P \right)\) nằm giữa hai mặt phẳng \(\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\).
Ta tính khoảng cách giữa \(\left( P \right)\) với hai mặt phẳng còn lại: \[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8 - \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt 6 }}\]; \(d\left( {\left( P \right),\left( R \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 - \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 6 }}.\)
Do vậy \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 3d\left( {\left( P \right),\left( R \right)} \right)\).
Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu của \(C\) trên các mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\)\( \Rightarrow CA' = \frac{3}{{\sqrt 6 }},\,\,A'B' = \frac{9}{{\sqrt 6 }}\). Vì \(AA'{\rm{//}}BB'\) nên \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CA'}}{{A'B'}} = \frac{{\frac{3}{{\sqrt 6 }}}}{{\frac{9}{{\sqrt 6 }}}} = \frac{1}{3}\) hay \(AC = \frac{1}{3}AB\).
Ta có:
\(T = A{B^2} + \frac{{144}}{{AC}} = A{B^2} + \frac{{144}}{{\frac{1}{3}AB}} = A{B^2} + \frac{{432}}{{AB}} = A{B^2} + \frac{{216}}{{AB}} + \frac{{216}}{{AB}}\mathop \ge \limits^{AM - GM} 3\sqrt[3]{{A{B^2} \cdot \frac{{216}}{{AB}} \cdot \frac{{216}}{{AB}}}} = 108\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(A{B^2} = \frac{{216}}{{AB}} \Leftrightarrow A{B^3} = 216 \Leftrightarrow AB = 6\), suy ra \(AC = 2\).
Vậy \({T_{\min }} = 108\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: Sai – Sai.
\(y = \cos x + \sin x = \sqrt 2 \cdot \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Rightarrow \) Chu kì \(T = 2\pi \) nên phát biểu thứ nhất sai.
Hàm số \(y = \cos x + \sin x\) là hàm số không chẵn không lẻ nên phát biểu thứ hai sai.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 9.
Gọi \(P\)là trung điểm của \(AC\), \(E\) là điểm đối xứng của \(P\) qua \(G\).
Khi đó tứ giác\(AGCE\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(AGCE\)là hình bình hành.
\( \Rightarrow \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {AE} \).
+ Dựng \(EF \bot BC\,\,\left( {F \in BC} \right)\).
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AE} } \right| = \left| {\overrightarrow {IE} } \right| = IE \ge EF\).
Do đó \(\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) nhỏ nhất khi \(I \equiv F\).
+ Ta có: \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{5}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {HC} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \).
+ Gọi \(Q\) là hình chiếu vuông góc của \(P\) lên \(BC\) \(\left( {Q \in BC} \right)\).
Ta có: \(\frac{{BP}}{{BE}} = \frac{{3GP}}{{BP + PE}} = \frac{{3GP}}{{3GP + GP}} = \frac{3}{4}\).
+ Do \(PQ\) // \(EF\)(vì cùng vuông góc với \(BC\)).
Nên \(\Delta BPQ\) và \(\Delta BEF\) đồng dạng \( \Rightarrow \frac{{BQ}}{{BF}} = \frac{{BP}}{{BE}} = \frac{3}{4}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} \).
+ \(\Delta AHC\) có \(P\) là trung điểm \(AC\) và \(PQ\) // \(AH\) (do cùng vuông góc với \(BC\)).
\( \Rightarrow PQ\) là đường trung bình. Khi đó, \(Q\) là trung điểm \(HC\) hay \(\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{4}{3}\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} } \right) = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{5}\overrightarrow {BC} + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \)
Vậy \(M = 4 + 5 = 9\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\(12960^\circ \).
\(32400^\circ \).
\(324000^\circ \).
\(64800^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập