Câu hỏi:
24/10/2024 87Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu có bán kính \(r = \sqrt 3 \). Biết hình chóp cụt có độ dài cạnh đáy lớn gấp đôi độ dài cạnh đáy nhỏ. Thể tích khối chóp cụt bằng
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giả sử ta có hình chóp cụt tam giác đều ABC.A′B′C′ như hình vẽ.
\( \Rightarrow \Delta ABC,\Delta A'B'C'\) đều.
Gọi \(H,H'\) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác đều \(ABC,A'B'C'\).
\( \Rightarrow HH' \bot \left( {ABC} \right)\) và tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cụt thuộc \(HH'\).
Gọi \(I,I'\) lần lượt là trung điểm cạnh \(AB,A'B'\).
Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot CI}\\{AB \bot HH'}\end{array}} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {CHH'} \right) \Rightarrow \left( {ABB'A'} \right) \bot \left( {CII'C'} \right)\)
\( \Rightarrow OK \bot \left( {CII'C'} \right)\)
\( \Rightarrow \) Hình cầu nội tiếp hình chóp cụt \(ABC.A'B'C'\) tiếp xúc với hai mặt phẳng đáy tại \(H,H'\) và tiếp xúc với mặt bên \(\left( {ABB'A'} \right)\) tại điểm \(K \in II'\).
Gọi \(O\) là trung điểm cạnh \(HH'\). Khi đó, \(O\) là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cụt và \(OK \bot II'\).
\( \Rightarrow OK = r = \sqrt 3 \)
Đặt \(A'B' = x \Rightarrow AB = 2x\). Ta có: \(I'K = I'H = \frac{1}{3}I'C' = \frac{{x\sqrt 3 }}{6};IK = IH = \frac{1}{3}IC = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \(\widehat {KIO} = \widehat {HIO};\widehat {KI'H'} = \widehat {H'{I^ \top }O}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow \widehat {KIO} + \widehat {KI'O} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {IOI'} = {90^ \circ }\)
\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}IOI'\) vuông tại \(O \Rightarrow O{K^2} = IK.I'K\)
\( \Leftrightarrow 3 = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{6} \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{{{(2x)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 18\sqrt 3 ;{S_{A'B'C'}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\)
Thể tích khối chóp cụt \(ABC.A'B'C'\) là:
\(V = \frac{{HH'}}{3}\left( {{S_{ABC}} + {S_{A'B'C'}} + \sqrt {{S_{ABC}}.{S_{A'B'C'}}} } \right) = 63\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Phát biểu sau đúng hay sai?
Gold là kim loại có tính khử yếu nên không bị hòa tan trong acid kể cả HNO3 nhưng lại bị hòa tan trong nước cường toan. Sau phản ứng thu được kết tủa gold(III) chloride theo phương trình sau:
Au + HNO3 + 3HCl → AuCl3↓ + 2H2O + NO↑
Phát biểu sau đúng hay sai?
Gold là kim loại có tính khử yếu nên không bị hòa tan trong acid kể cả HNO3 nhưng lại bị hòa tan trong nước cường toan. Sau phản ứng thu được kết tủa gold(III) chloride theo phương trình sau:
Au + HNO3 + 3HCl → AuCl3↓ + 2H2O + NO↑
Xem đáp án »
05/07/2024
798
Câu 2:
Phần tư duy khoa học / giải quyết vấn đề
Phát biểu nào sau đây là đúng khi nói về đặc điểm của ánh sáng khả kiến?
Xem đáp án »
05/07/2024
367
Câu 3:
Phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Trong 4 Nghiên cứu trên thì dòng điện chạy qua đường ray đều theo một chiều nhất định, đúng hay sai?
Phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Trong 4 Nghiên cứu trên thì dòng điện chạy qua đường ray đều theo một chiều nhất định, đúng hay sai?
Xem đáp án »
05/07/2024
359
Câu 4:
Phần tư duy đọc hiểu
Theo bài viết, tế bào gốc đang được nghiên cứu để ứng dụng vào điều trị vấn đề gì về sức khỏe của con người?
Phần tư duy đọc hiểu
Theo bài viết, tế bào gốc đang được nghiên cứu để ứng dụng vào điều trị vấn đề gì về sức khỏe của con người?
Xem đáp án »
05/07/2024
325
Câu 5:
Để cạnh tranh với các nền tảng xuyên biên giới như Facebook, Google, các nhà cung cấp dịch vụ truyền hình trực tuyến trong nước đang làm gì?
Để cạnh tranh với các nền tảng xuyên biên giới như Facebook, Google, các nhà cung cấp dịch vụ truyền hình trực tuyến trong nước đang làm gì?
Xem đáp án »
05/07/2024
297
Câu 6:
Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Biên độ của sóng có biên độ cao là (1) _______ cm.
Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Biên độ của sóng có biên độ cao là (1) _______ cm.
Xem đáp án »
13/07/2024
295
Câu 7:
Phát biểu sau đúng hay sai?
Dựa trên kết quả của Thí nghiệm 2, độ hấp thụ hiệu chỉnh của mơ khô có giá trị lớn nhất.
Phát biểu sau đúng hay sai?
Dựa trên kết quả của Thí nghiệm 2, độ hấp thụ hiệu chỉnh của mơ khô có giá trị lớn nhất.
Xem đáp án »
05/07/2024
272
về câu hỏi!