Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu có bán kính $r = \sqrt 3$. Biết hình chóp cụt có độ dài cạnh đáy lớn gấp đôi độ dài cạnh đáy nhỏ. Thể tích khối chóp cụt bằng

Giả sử ta có hình chóp cụt tam giác đều ABC.A′B′C′ như hình vẽ.

$\Rightarrow \Delta ABC,\Delta A'B'C'$ đều.

Gọi $H,H'$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác đều $ABC,A'B'C'$.

$\Rightarrow HH' \bot \left( {ABC} \right)$ và tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cụt thuộc $HH'$.

Gọi $I,I'$ lần lượt là trung điểm cạnh $AB,A'B'$.

Ta có: $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot CI}\\{AB \bot HH'}\end{array}} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {CHH'} \right) \Rightarrow \left( {ABB'A'} \right) \bot \left( {CII'C'} \right)$

$\Rightarrow OK \bot \left( {CII'C'} \right)$

$\Rightarrow$ Hình cầu nội tiếp hình chóp cụt $ABC.A'B'C'$ tiếp xúc với hai mặt phẳng đáy tại $H,H'$ và tiếp xúc với mặt bên $\left( {ABB'A'} \right)$ tại điểm $K \in II'$.

Gọi $O$ là trung điểm cạnh $HH'$. Khi đó, $O$ là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cụt và $OK \bot II'$.

$\Rightarrow OK = r = \sqrt 3$

Đặt $A'B' = x \Rightarrow AB = 2x$. Ta có: $I'K = I'H = \frac{1}{3}I'C' = \frac{{x\sqrt 3 }}{6};IK = IH = \frac{1}{3}IC = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}$

Ta có: $\widehat {KIO} = \widehat {HIO};\widehat {KI'H'} = \widehat {H'{I^ \top }O}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

$\Rightarrow \widehat {KIO} + \widehat {KI'O} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {IOI'} = {90^ \circ }$

$\Rightarrow {\rm{\Delta }}IOI'$ vuông tại $O \Rightarrow O{K^2} = IK.I'K$

$\Leftrightarrow 3 = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{6} \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2$

$\Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{{{(2x)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 18\sqrt 3 ;{S_{A'B'C'}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$

Thể tích khối chóp cụt $ABC.A'B'C'$ là:

$V = \frac{{HH'}}{3}\left( {{S_{ABC}} + {S_{A'B'C'}} + \sqrt {{S_{ABC}}.{S_{A'B'C'}}} } \right) = 63$