Một hộp đựng 8 quả cầu giống nhau được đánh số từ 1 đến 8.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

a) Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp thì xác suất để lấy được 2 quả cầu ghi số có tổng bằng 5 là _______.

b) Lấy ngẫu nhiên từ hộp một số quả cầu. Cần phải lấy ít nhất _______ quả cầu để xác suất lấy được ít nhất 1 quả ghi số chia hết cho 3 lớn hơn \(\frac{3}{4}\).

a) Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp thì xác suất để lấy được 2 quả cầu ghi số có tổng bằng 5 là \(\frac{1}{7}\).

b) Lấy ngẫu nhiên từ hộp một số quả cầu. Cần phải lấy ít nhất 4  quả cầu để xác suất lấy được ít nhất 1 quả ghi số chia hết cho 3 lớn hơn \(\frac{3}{4}\).

Giải thích

a) Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_8^2\).

Gọi biến cố \(A\): "Lấy được 2 quả cầu ghi số có tổng bằng 5".

Hai quả cầu ghi số có tổng bằng 5 thì số trên 2 quả là 1 và 4 hoặc 2 và \(3 \Rightarrow n\left( A \right) = 2 + 2 = 4\).

Vậy xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{4}{{C_8^2}} = \frac{1}{7}\).

b) Nhận thấy trong 8 quả cầu đã cho, có 2 quả ghi số chia hết cho 3 là 3 và \(6;6\) quả còn lại ghi số không chia hết cho 3.

Giả sử rút ra \(x\) quả \((1 \le x \le 8,x \in \mathbb{N}\) ). Lấy ngẫu nhiên \(x\) quả từ 8 quả trong hộp thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_8^x\).

Gọi biến cố \(A\) : "Trong \(x\) quả lấy ra có ít nhất 1 quả ghi số chia hết cho 3 ".

Biến cố đối của \(A\) là \(\overline A \) : "Trong \(x\) quả lấy ra không có quả nào ghi số chia hết cho 3" \( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_6^x\).

\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{C_6^x}}{{C_8^x}} = \frac{{6!}}{{x!\left( {6 - x} \right)!}}:\frac{{8!}}{{x!\left( {8 - x} \right)!}} = \frac{{\left( {8 - x} \right)\left( {7 - x} \right)}}{{56}}\).

Theo đề bài

\(P\left( A \right) > \frac{3}{4} \Rightarrow 1 - P\left( {\overline A } \right) > \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1 - \frac{{\left( {8 - x} \right)\left( {7 - x} \right)}}{{56}} > \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{\left( {8 - x} \right)\left( {7 - x} \right)}}{{56}} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 15x + 42 < 0\)

\( \Leftrightarrow 3,7 \approx \frac{{15 - \sqrt {57} }}{2} < x < \frac{{15 + \sqrt {57} }}{2} \approx 11,3\) mà \(1 \le x \le 8,x \in \mathbb{N}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của \(x\) là 4 .

Vậy cần phải lấy ít nhất 4 quả cầu.