Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 1)

Mặt phẳng \((ABC)\) có phương trình là \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x - 4y - 3z + 12 = 0\).

Do đó ta chọn đáp án

\(6x - 4y - 3z + 12 = 0\).

\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\).

Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số \(y = f(x)\) có 2 điểm cực trị.

Hàm số \(g(x) = \;|f(x) + 2m|\) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(f(x) + 2m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của phương trình \(f(x) + 2m = 0\) là số giao điểm của hai đồ thị \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = f(x)}\\{y = - 2m}\end{array}} \right.\), trong đó hàm số \(y = - 2m\) có đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.

Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình \(f(x) + 2m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt khi \( - 3 < - 2m < 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}\).

Vậy \(m \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) thỏa mãn.

Suy ra tập hợp các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn là tập con của các tập hợp \([ - 2;2]\) và \(( - 1;3]\).

Do đó đáp án đúng là 

 [−2; 2].

(−1; 3].

Ta có: \({\log _5}\left( {{5^a}{{.125}^b}} \right) = {\log _{25}}5 \Leftrightarrow {\log _5}{5^a} + {\log _5}{5^{3b}} = {\log _{{5^2}}}5\)

\( \Leftrightarrow a{\log _5}5 + 3b{\log _5}5 = \frac{1}{2}{\log _5}5 \Leftrightarrow a + 3b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2a + 6b = 1\).

Nếu \(b = \frac{1}{2}\) thì \(2a + 6.\frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow a = - 1\).

Vì \(a\) là số nguyên âm thuộc \([ - 10; - 5]\) nên ta có bảng sau:

Vậy không có giá trị nguyên dương của b thỏa mãn.

Do đó ta điền như sau

Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện \({\log _5}\left( {{5^a}{{.125}^b}} \right) = {\log _{25}}5\). Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Nếu \(b = \frac{1}{2}\) thì giá trị của số thực a bằng −1 .

Mối liên hệ giữa a và b là \[2a + 6b = \] 1 .

Nếu a là số nguyên âm thuộc [−10;−5] thì có 0  giá trị nguyên dương của b.

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích của lon nước là \(V = \pi {R^2}.10 \Leftrightarrow 340 = \pi {R^2}.10 \Leftrightarrow R = \sqrt {\frac{{34}}{\pi }} \;{\rm{cm}} \Rightarrow d = 2\sqrt {\frac{{34}}{\pi }} \;{\rm{cm}}\) là đường kính đáy của lon nước.

Diện tích toàn phần của lon nước là: 

\(2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi .\sqrt {\frac{{34}}{\pi }} .10 + 2\pi .{\left( {\sqrt {\frac{{34}}{\pi }} } \right)^2} = 20\sqrt {34\pi } + 68\) (cm²).

Do đó ta điền như sau

Một lon nước hình trụ có dung tích là 340 ml, cao 10 cm. Biết rằng thể tích vỏ lon không đáng kể và kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ nhất.

Đường kính đáy là lon nước là (1) \(d = 2\sqrt {\frac{{34}}{\pi }} \;{\rm{cm}} \approx {\rm{6,6 cm}}\) (cm).

Diện tích toàn phần của lon nước là (2) \(20\sqrt {34\pi } + 68 \approx 274,7\) (cm²).

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\).

Khi đó \(|z - 1 + 2i| = 4 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 16\).

Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|z - 1 + 2i| = 4\) là đường tròn tâm \(I(1; - 2)\) và bán kính \(R = 4\).

Do đó ta chọn đáp án như sau

 Vì x, y là các số nguyên trái dấu nên \(|x| + |y| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|x|\; = 1}\\{|y|\; = 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|x|\; = 2}\\{|y|\; = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

+, Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|x|\; = 1}\\{|y|\; = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = - 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\) . Khi đó, \(T = 2x + y = 0\) .

+, Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|x|\; = 2}\\{|y|\; = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\). Khi đó, \(T = 2x + y = \pm 3\).

Do đó đáp án đúng là

−3.

0.

Ngày trước ngày hôm qua là 17 tháng 1 nên ngày của ngày hôm qua là 17 + 1 = 18 tháng 1.

Ngày hôm nay là 18 + 1 = 19 tháng 1.

Ngày mai là 19 + 1 = 20 tháng 1.

Ngày 3 ngày sau ngày mai là 20 + 3 = 23 tháng 1.

Biểu diễn trên trục số ta có:

Vậy 3 ngày sau ngày mai là ứng với số 4 trục số.

Do đó ta điền như sau

Lấy hôm nay là số 0 trên trục số. Nếu ngày hôm trước ngày hôm qua là ngày 17 tháng 1 thì 3 ngày sau ngày mai là ứng với số (1) 4 trên trục số?

Phương trình \(4{z^2} - 2(2m + 1)z + {m^2} = 0\,\,(1)\) có \(\Delta ' = 4m + 1\).

+Trường hợp 1. \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \frac{1}{4}\).

Phương trình (1) có nghiệm \({z_o}\) thỏa mãn \(\left| {{z_o}} \right| = 3\) suy ra \({z_o} = 3\) hoặc \({z_o} = - 3\).

Nếu \({z_o} = 3\) suy ra \(36 - 6(2m + 1) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 12m + 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 6 + \sqrt 6 }\\{m = 6 - \sqrt 6 }\end{array}} \right.\), (chọn).

Nếu \({z_o} = - 3\) suy ra \(36 + 6(2m + 1) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 42 = 0\) vô nghiệm.

+ Trường hợp 2. \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{1}{4}\).

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phức \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \({z_o} = {z_1} = \overline {{z_2}} \).

Suy ra \(\left| {{z_o}} \right| = 3 \Leftrightarrow {z_o}.\overline {{z_0}} = 9 \Leftrightarrow {z_1}.{z_2} = 9 \Leftrightarrow \frac{{{m^2}}}{4} = 9 \Leftrightarrow m = \pm 6\).

Kết hợp điều kiện \(m < - \frac{1}{4}\) suy ra \(m = - 6\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Do đó ta điền như sau

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \(4{z^2} - 2(2m + 1)z + {m^2} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có (1) 3  giá trị của tham số \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_o}\) thỏa mãn \(\left| {{z_o}} \right| = 3\)?