Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1},\) \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{2}\),\({d_3}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz - 1 = 0\) với \({\rm{a}},{\rm{b}}\) nguyên dương, đi qua \({\rm{M}}(2;0;1)\) và cắt 3 đường thẳng trên tại ba điểm là ba đỉnh của một tam giác đều. Hỏi \(({\rm{P}})\) đi qua điểm nào sau đây?
Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1},\) \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{2}\),\({d_3}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz - 1 = 0\) với \({\rm{a}},{\rm{b}}\) nguyên dương, đi qua \({\rm{M}}(2;0;1)\) và cắt 3 đường thẳng trên tại ba điểm là ba đỉnh của một tam giác đều. Hỏi \(({\rm{P}})\) đi qua điểm nào sau đây?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có các vectơ chỉ phương của \({{\rm{d}}_1},\;{{\rm{d}}_2},\;{{\rm{d}}_3}\) lần lượt là:
\(\overrightarrow {{{\rm{u}}_1}} = (2;2;1),\overrightarrow {{{\rm{u}}_2}} = (1; - 2;2),\overrightarrow {{{\rm{u}}_3}} = (2; - 1; - 2)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{{\rm{u}}_1}} .\overrightarrow {{{\rm{u}}_2}} = \overrightarrow {{{\rm{u}}_2}} .\overrightarrow {{{\rm{u}}_3}} = \overrightarrow {{{\rm{u}}_1}} .\overrightarrow {{{\rm{u}}_3}} = 0\)
Suy ra ba đường thẳng đã cho đôi một vuông góc.
Lại có \({\rm{A}}(1; - 1;1)\) nằm trên cả ba đường thẳng đã cho, nên chúng đồng quy tại \({\rm{A}}\).
Vì \({\rm{M}} \in ({\rm{P}}) \Leftrightarrow 2{\rm{a}} + {\rm{c}} - 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{c}} = 1 - 2{\rm{a}}\), suy ra (P) nhận \(\overrightarrow {{n_{\rm{P}}}} = ({\rm{a}};{\rm{b}};1 - 2{\rm{a}})\) làm vectơ pháp tuyến.
Giả sử \(({\rm{P}})\) cắt ba đường thẳng đã cho lần lượt tại B, C, D thì tam giác \({\rm{BCD}}\) đều.
Khi đó \({\rm{ABCD}}\) là tứ diện vuông, chóp \({\rm{ABCD}}\) là chóp đều.
Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \({\rm{BCD}} \Rightarrow {\rm{AH}} \bot ({\rm{BCD}})\) hay \({\rm{AH}} \bot ({\rm{P}})\) và \(\overrightarrow {{\rm{AH}}} = \frac{1}{3}(\overrightarrow {{\rm{AB}}} + \overrightarrow {{\rm{AC}}} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} ).\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {\rm{n}} = \overrightarrow {{\rm{AB}}} + \overrightarrow {{\rm{AC}}} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} \) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Do đó \(({\rm{a}};{\rm{b}};1 - 2{\rm{a}}) = {\rm{k}}\left( {\overrightarrow {{{\rm{u}}_1}} \pm \overrightarrow {{{\rm{u}}_2}} \pm \overrightarrow {{{\rm{u}}_3}} } \right)({\rm{k}} \ne 0)\)
Thử các trường hợp, ta có \(({\rm{a}};{\rm{b}};1 - 2{\rm{a}}) = (1;1; - 1) \Rightarrow ({\rm{P}}):{\rm{x}} + {\rm{y}} - {\rm{z}} - 1 = 0\).
Vậy mặt phẳng \(({\rm{P}})\) đi qua điểm \((1;3;3)\). Chọn A.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí khi vật đứng yên, tức là \(x = 0\).
\( \Rightarrow 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}\).
Trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, tức là \(0 \le t \le 10\) hay \(0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 10 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{150 - 2\pi }}{{3\pi }}\).
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên k ∈{0;1;2;…;14;15}.
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 16 lần.
Do đó ta điền như sau
Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\) trong đó thời gian \(t\) tính bằng giây và quãng đường \(x\) tính bằng centimét. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, vật đi qua vị trí cân bằng (1) 16 lần?
Lời giải
Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 9 quả cầu là một tổ hợp chập 3 của 9.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = C_9^3 = 84\).
Gọi A là biến cố: “3 quả cầu có ít nhất 1 quả màu đỏ”.
⇒ Biến cố đối là \(\bar A\) là: “3 quả cầu không có quả màu đỏ”.
Vậy \(n(\bar A) = C_6^3 = 20 \Rightarrow P(\bar A) = \frac{{20}}{{84}} = \frac{5}{{21}} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{5}{{21}} = \frac{{16}}{{21}}\).
Do đó ta điền như sau
Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó.
Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được không có quả màu đỏ là (1) \(\frac{5}{{21}}\).
Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu đỏ là (2) \(\frac{{16}}{{21}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập