Câu hỏi:
24/10/2024 48
Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {17x} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {119y} \right) - 1 \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {{x^2} + y + 1} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x + y\) bằng (1) ________.
Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {17x} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {119y} \right) - 1 \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {{x^2} + y + 1} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x + y\) bằng (1) ________.
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: “7”
Giải thích
Ta có:
\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {17x} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {119y} \right) - 1 \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {{x^2} + y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {17x} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {119y} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\frac{1}{{2023}} \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {{x^2} + y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {17x.119y.\frac{1}{{2023}}} \right) \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{2023}}\left( {{x^2} + y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow xy \ge {x^2} + y + 1\)
\( \Leftrightarrow y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow y \ge \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\) (vì \(y > 0,y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2} + 1 > 0\) nên \(x - 1 > 0\))
\( \Rightarrow x + y \ge x + \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\forall x > 1;y > 0\).
Khi đó bài toán đã cho trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(x + \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\) với \(x > 1\).
Ta có: \(x + \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - x + {x^2} + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = f\left( x \right)\).
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 4x}}{{{{(x - 1)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (vì \(x > 1\)).
Ta có: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty ,f\left( 2 \right) = \frac{{{{2.2}^2} - 2 + 1}}{{2 - 1}} = 7\),
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \).
Do đó \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 7\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(x + y\) là 7 .
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Phát biểu sau đúng hay sai?
Gold là kim loại có tính khử yếu nên không bị hòa tan trong acid kể cả HNO3 nhưng lại bị hòa tan trong nước cường toan. Sau phản ứng thu được kết tủa gold(III) chloride theo phương trình sau:
Au + HNO3 + 3HCl → AuCl3↓ + 2H2O + NO↑
Phát biểu sau đúng hay sai?
Gold là kim loại có tính khử yếu nên không bị hòa tan trong acid kể cả HNO3 nhưng lại bị hòa tan trong nước cường toan. Sau phản ứng thu được kết tủa gold(III) chloride theo phương trình sau:
Au + HNO3 + 3HCl → AuCl3↓ + 2H2O + NO↑
Xem đáp án »
05/07/2024
870
Câu 2:
Phần tư duy khoa học / giải quyết vấn đề
Phát biểu nào sau đây là đúng khi nói về đặc điểm của ánh sáng khả kiến?
Xem đáp án »
05/07/2024
548
Câu 3:
Phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Trong 4 Nghiên cứu trên thì dòng điện chạy qua đường ray đều theo một chiều nhất định, đúng hay sai?
Phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Trong 4 Nghiên cứu trên thì dòng điện chạy qua đường ray đều theo một chiều nhất định, đúng hay sai?
Xem đáp án »
05/07/2024
383
Câu 4:
Phần tư duy đọc hiểu
Theo bài viết, tế bào gốc đang được nghiên cứu để ứng dụng vào điều trị vấn đề gì về sức khỏe của con người?
Phần tư duy đọc hiểu
Theo bài viết, tế bào gốc đang được nghiên cứu để ứng dụng vào điều trị vấn đề gì về sức khỏe của con người?
Xem đáp án »
05/07/2024
360
Câu 5:
Để cạnh tranh với các nền tảng xuyên biên giới như Facebook, Google, các nhà cung cấp dịch vụ truyền hình trực tuyến trong nước đang làm gì?
Để cạnh tranh với các nền tảng xuyên biên giới như Facebook, Google, các nhà cung cấp dịch vụ truyền hình trực tuyến trong nước đang làm gì?
Xem đáp án »
05/07/2024
335
Câu 6:
Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Biên độ của sóng có biên độ cao là (1) _______ cm.
Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Biên độ của sóng có biên độ cao là (1) _______ cm.
Xem đáp án »
13/07/2024
327
Câu 7:
Phát biểu sau đúng hay sai?
Dựa trên kết quả của Thí nghiệm 2, độ hấp thụ hiệu chỉnh của mơ khô có giá trị lớn nhất.
Phát biểu sau đúng hay sai?
Dựa trên kết quả của Thí nghiệm 2, độ hấp thụ hiệu chỉnh của mơ khô có giá trị lớn nhất.
Xem đáp án »
05/07/2024
307
về câu hỏi!