Có bao nhiêu bộ số \(\left( {a;b;c;d} \right)\) thỏa mãn \(a;b;c;d;\,\,a + c;\,\,b + c;\,\,a + d;\,\,b + d\) là tám số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 8 và \(a\) là số lớn nhất?

Vì \(a;b;c;d;a + c;b + c;a + d;b + d\) là tám số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 8 nên tổng của 8 số này là: \(a + b + c + d + \left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right) + \left( {a + d} \right) + \left( {b + d} \right) = 1 + 2 +  \ldots  + 8\).

\( \Leftrightarrow 3\left( {a + b + c + d} \right) = 36 \Leftrightarrow a + b + c + d = 12\).

Mà \(b + c + d \ge 1 + 2 + 3 = 6 \Rightarrow a = 12 - \left( {b + c + d} \right) \le 6\).

Mặt khác, \(a\) là số lớn nhất nên \(4a > a + b + c + d \Leftrightarrow a > 3\).

Với \(a = 4\) ta có: \(b + c + d = 8\) mà \({\rm{max}}\left( {b + c + d} \right) = 1 + 2 + 3 = 6\) nên không thỏa mãn.

Với \(a = 5\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b + c + d = 7}\\{b,c,d \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}(a > b,c,d)}\end{array} \Rightarrow b,c,d \in \left\{ {1;2;4} \right\}} \right.\). Vì \(a + c;a + d \le 8\) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 4}\\{c;d \in \{ 1;2\} }\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1;d = 2}\\{a + c = b + d = 6}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 2;d = 1}\\{a + d = b + c = 6}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\) (vô lí).

Với \(a = 6\) ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b + c + d = 6}\\{b,c,d \in \{ 1;2;3;4;5\} (a > b,c,d)}\end{array} \Rightarrow b;c;d \in \{ 1;2;3\} } \right.\]. Vì \(a + c;a + d \le 8\)

nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3}\\{c;d \in \left\{ {1;2} \right\}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 1;d = 2}\\{a + c = 7;b + c = 4;a + d = 8;b + d = 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 2;d = 1}\\{a + c = 8;b + c = 5;a + d = 7;b + d = 4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\)(thỏa mãn).

Vậy có 2 bộ số \(\left( {a;b;c;d} \right)\) thỏa mãn.