Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {3;1;2} \right),C\left( { - 1;2;1} \right)\) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc đường thẳng \({\rm{\Delta }}\), đi qua \(A\) và cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng (1) _________.

Đáp án

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {3;1;2} \right),C\left( { - 1;2;1} \right)\) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc đường thẳng \({\rm{\Delta }}\), đi qua \(A\) và cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng (1) __1/10__.

Giải thích

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;1;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;2;1} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right)\) suy ra \(\vec n = \left( {1;2; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(x + 2y - 2z - 1 = 0\).

Phương trình tham số của \({\rm{\Delta }}\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = 3t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.\).

Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\), do \(I \in {\rm{\Delta }}\) nên \(I\left( {2 - t;3t; - 1 + t} \right)\).

Ta có: \(A{I^2} = {(1 - t)^2} + 9{t^2} + {(t - 1)^2} = 11{t^2} - 4t + 2\)

\(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - t + 6t + 2 - 2t - 1} \right|}}{3} = \left| {t + 1} \right|\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn, giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) thì

\({r^2} = A{I^2} - {d^2}\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = 11{t^2} - 4t + 2 - {(t + 1)^2} = 10{t^2} - 6t + 1 = 10{\left( {t - \frac{3}{{10}}} \right)^2} + \frac{1}{{10}} \ge \frac{1}{{10}}\)

Do đó bán kính \(r\) nhỏ nhất khi \(t = \frac{3}{{10}}\), khi đó \(I\left( {\frac{{17}}{{10}};\frac{9}{{10}};\frac{{ - 7}}{{10}}} \right),AI = \frac{{\sqrt {179} }}{{10}}\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - \frac{{17}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{9}{{10}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{7}{{10}}} \right)^2} = \frac{{179}}{{100}}\).