Cho vuông tại . Hạ , vẽ về phía nửa đường tròn tâm đường kính cắt tại và nửa đường tròn tâm đường kính cắt tại

Vẽ đường kính cắt tại và . Chứng minh tam giác cân và xác định vị trí của để chu vi tứ giác lớn nhất.

⦁ Chứng minh tam giác là tam giác cân 

Theo câu b, suy ra .

Xét và có: là góc chung và

Do đó (c.g.c), suy ra (hai góc tương ứng).

Ta có: nên tam giác cân ở , suy ra .

Mà suy ra nên .

Xét cân ở (do ) có là đường cao nên cũng là đường trung trực của . Suy ra nên cân ở .

⦁ Xác định vị trí của để chu vi tứ giác lớn nhất

Chứng minh tương tự câu c, ta có là tiếp tuyến của đường tròn tại  

Ta có: suy ra , do đó tứ giác là hình thang.

Lại có nên hình thang là hình thang vuông.

Ta có chu vi là

(do

.

Lại có và

Do đó , suy ra

Hay .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Mà (chứng minh ở câu c) nên

Lại có là đường kính của đường tròn và điểm nằm trên đường tròn nên lúc này điểm trùng điểm tức là tại tâm . Như vậy, điều này xảy ra khi và chỉ khi nằm chính giữa cung .

Vậy chu vi đạt giá trị lớn nhất là khi nằm chính giữa cung .